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Limite

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Mensagempor matmatco » Dom Dez 16, 2012 09:15

não estou conseguindo sair dessa raiz ja substitui x= u³ mas minha resposta não bate com a do livro, qual é o meu erro?
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 10:06

Bom dia,

Você já tentou multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}), então desenvolver o numerador, o que encontra?

.
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Re: Limite

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 16, 2012 10:58

Fraol, sua sugestão não resolve. Multiplique e divida por x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{2}{3}}. Então (x^{\frac{1}{3}} - 3^{\frac{1}{3}}) \cdot (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{2}{3}}) = x -3, que poderá ser simplificado com o denominador.
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 12:35

Olá MarceloFantini

fraol escreveu:Bom dia,

Você já tentou multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}), então desenvolver o numerador, o que encontra?

.


Quando escrevi isso tentava mostrar que o numerador é zero, para qualquer x, o que é obvio e nem precisava desse algebrismo pois (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}) = 0 sempre, certo?
Se assim o for, esse limite é 0, concorda?


Por outro lado, a manipulação algébrica que você propôs é válida, e nesse caso o limite não é zero, se não errei as contas.

Qual é a sua conjectura a respeito?

.
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Re: Limite

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 16, 2012 16:03

Começa que você não pode fazer isso pois você estaria dividindo por zero, então sua sugestão deixa de ser válida a partir disso. Sim, o limite é diferente de zero.
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 16:14

Sim, não podemos dividir por zero. Mas eu ainda não substitui o x por 3. Apenas estou simplificando o numerador para depois partir para o cálculo do limite.

Note que na função original o domínio é R\{3}. Então existe f(1), f(2), f(4) e infinitos outros e todos eles são iguais a zero. Então afirmo que o limite é 0.

Por exemplo, qual é o valor de f(1) nessa fatoração/simplificação que você sugere?

.
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Re: Limite

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 16, 2012 17:32

A função que propos, \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x} é a função identicamente nula, pois ela é zero em todos os pontos. Novamente, você está essencialmente multiplicando tudo por zero e dizendo que o resultado é zero. Ora, por esse raciocínio então o limite \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}} é zero, pois multiplicando e dividindo \sqrt{x}-\sqrt{x} teremos que o limite é zero.

Vou tornar a pergunta para você: por que multiplicar por isto? Qual é o seu argumento para multiplicar tudo por zero, alterar completamente o limite e portanto afirmar que é zero?
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 17:46

Eu não multipliquei por 0, nem propus uma nova função. Eu, apenas, estou sugerindo que simplifiquemos o numerador e depois vamos ao cálculo do limite, como normalmente fazemos. Você chegou a verificar os valores de f(x) para x diferente de 3 na função original proposta pelo nosso colega?
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 17:52

Opa, desculpe, reli agora o enunciado e vi que trata-se de \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3} no numerador.
Logo ignorem minhas considerações anteriores. Vou ao oculista o mais breve possível ...
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}