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[Pontos críticos - Derivadas] Ajuda com pontos críticos

[Pontos críticos - Derivadas] Ajuda com pontos críticos

Mensagempor jonaskessinger » Qui Dez 13, 2012 18:16

Boa tarde...
Tenho a duvida da função abaixo, preciso saber como chegar nos pontos criticos (são 4, conforme mostrei abaixo):

Função:
f(x,y) = xy(1-x-y) = xy - x²y-xy²

derivando em x e y:
==> f[x] = y-2xy - y² = y(1-2x-y) = 0
e
==> f[y] = x-2xy - x² = x(1-x-2y) = 0

Resolvendo o sistema acima, temos os pontos criticos:
(i) (0,0)
{ii) (1,0)
(iii) (0,1)
(iv) (1/3, 1/3)


A questão é...como chegar até esses pontos? Obrigado desde já!
jonaskessinger
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Re: [Pontos críticos - Derivadas] Ajuda com pontos críticos

Mensagempor Russman » Qui Dez 13, 2012 19:35

O que você entende por "Resolvendo o sistema acima" ? Ora, você tem duas equações e duas incógnitas. Basta que você as manipule e isole o devido valor de cada uma!

Sistema:

\left\{\begin{matrix}
y(1-2x-y)=0\\ 
x(1-x-2y)=0
\end{matrix}\right.

Claramente (x,y) = (0,0) é solução. Agora, tomando x e y não nulos podemos dividir a 1° equação por y e a 2° por x de forma que nos resta um sistema de Primeiro Grau:

\left\{\begin{matrix}
1-2x-y=0\\ 
1-x-2y=0
\end{matrix}\right.

Isolando y na 1° equação, y = 1-2x, e aplicando na 2°, temos

1-x-2y=0 \Rightarrow 1-x-2(1-2x) = 0 \Rightarrow 1-x-2+4x=0 \Rightarrow  -1+3x=0 \Rightarrow  x=\frac{1}{3}.

Com esse valor de x temos para y, então: y = 1-2x= 1-2(\frac{1}{3}) = 1\frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Assim, o outro ponto solução é (x,y) = (\frac{1}{3} , \frac{1}{3}).
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}