Integral

por **Claudin** » Sáb Dez 01, 2012 17:26

Não sei como resolver o seguinte exercicio

Mostre que s e f for uma função continua [a,b] então $|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq\int_{a}^{b}|f(x)|dx$

Sugestão: $-|f(x)|\leqf(x)\leq|f(x)|$

Use o exercicio anterior e prove também que

$|\int_{0}^{2\Pi}f(x)sen(2x)dx|\leq\int_{0}^{2\Pi}|f(x)|dx$

Não nem como começar em ambos os exercícios.

por **LuizAquino** » Ter Dez 11, 2012 14:26

Claudin escreveu:Não sei como resolver o seguinte exercicio

Mostre que s e f for uma função continua [a,b] então $|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq\int_{a}^{b}|f(x)|dx$

Sugestão: $-|f(x)|\leq f(x)\leq|f(x)|$

Use o exercicio anterior e prove também que

$|\int_{0}^{2\Pi}f(x)sen(2x)dx|\leq\int_{0}^{2\Pi}|f(x)|dx$

Não nem como começar em ambos os exercícios.

Comece usando a sugestão:

$-|f(x)|\leq f(x)\leq|f(x)|$

Como f é contínua em [a, b] (e portanto |f| também é contínua em [a, b]), podemos integrar cada parte dessa inequação, obtendo assim:

$- \int_a^b |f(x)|\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$

Por outro lado, temos que:

$|f(x)| \geq 0$

$\int_a^b |f(x)|\, dx \geq \int_a^b 0\,dx$

$\int_a^b |f(x)|\, dx \geq 0$

Além disso, dos conhecimentos sobre módulos, sabemos que se $-u \leq v \leq u$ e $u \geq 0$ , então $|v|\leq u$ . Usando esse conhecimento com $u = \int_a^b |f(x)|\, dx$ e $v = \int_a^b f(x)\,dx$ , concluímos que:

$- \int_a^b |f(x)|\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b |f(x)|\,dx \implies \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$

Usando esse resultado no outro exercício:

$\left|\int_{0}^{2\pi}f(x)\,\textrm{sen}\, 2x\,dx\right| \leq \int_{0}^{2\pi} |f(x)\,\textrm{sen}\, 2x|\,dx$

Em seguida, usando a propriedade dos módulos dada por |ab|=|a||b|, temos que:

$\left|\int_{0}^{2\pi}f(x)\,\textrm{sen}\, 2x\,dx\right| \leq \int_{0}^{2\pi} |f(x)||\,\textrm{sen}\, 2x|\,dx$

Agora basta concluir o exercício usando o fato de que $|\,\textrm{sen}\,\alpha|\leq 1$ para qualquer ângulo $\alpha$ .

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