Integral

por **Claudin** » Sáb Dez 01, 2012 16:43

Calcule a integral interpretando em termos de áreas e por resolução de integral normalmente:

$\int_{-3}^{0}(1+\sqrt[]{9-x^2})$

Gostaria de saber como calcular em termo de área e também usando o método de integração normalmente, pois não consegui

Interpretando por áreas fiz primeiro

f(-3) = 1
f(0)= 4

Daí obtive o gráfico, porém na hora de calcular a área me enrolei com a fórmula. E por integração não sei nem como começar.

por **LuizAquino** » Seg Dez 10, 2012 09:34

Claudin escreveu:Calcule a integral interpretando em termos de áreas e por resolução de integral normalmente:

$\int_{-3}^{0}(1+\sqrt[]{9-x^2})$

Gostaria de saber como calcular em termo de área e também usando o método de integração normalmente, pois não consegui

Interpretando por áreas fiz primeiro

f(-3) = 1
f(0)= 4

Daí obtive o gráfico, porém na hora de calcular a área me enrolei com a fórmula. E por integração não sei nem como começar.

Parte 1) Interpretação em termos de área

Vamos chamar o integrando de y. Isto é, faremos:

$y = 1 + \sqrt{9-x^2}$

Vamos agora arrumar essa equação de uma outra forma:

$y - 1 = \sqrt{9-x^2}$

$(y - 1)^2 = \left(\sqrt{9-x^2}\right)^2$

Como $9 - x^2 \geq 0$ para x no intervalo [-3, 0], podemos simplificar a raiz quadrada com o expoente 2, ficando apenas com:

(y - 1)^2 = 9-x^2

Dos conhecimentos de Geometria Analítica, você já sabe que essa equação representa uma circunferência de centro (0, 1) e raio 3. Fazendo o esboço dessa circunferência e lembrando que x está em [-3, 0], desejamos determinar a área da região R ilustrada abaixo.

: figura.png (5.99 KiB) Exibido 2334 vezes

Note que a área de R pode ser dividida em duas áreas. Uma delas é a área do retângulo de lados medindo 1 e 3. Já a outra é a quarta parte da área de uma circunferência de raio 3.

Considerando todas essas informações, tente concluir essa parte do exercício.

Parte 2) Método de Integração

Note que podemos separar a integral original em duas:

$\int_{-3}^{0} 1+\sqrt{9-x^2}\, dx = \int_{-3}^{0} 1\, dx + \int_{-3}^{0} \sqrt{9-x^2}\, dx$

Calcular a primeira integral é simples. O trabalho maior está na segunda integral.

Para resolver essa segunda integral, use a técnica de substituição trigonométrica.

Efetuando a substituição $x = 3\,\textrm{sen}\,\alpha$ , podemos escrever que:

(i) $dx = 3\cos \alpha \,d\alpha$ ;

(ii) para x = -3, temos que $-3 = 3\,\textrm{sen}\,\alpha$ , ou seja, $-1 = \,\textrm{sen}\,\alpha$ . Isso significa que $\alpha = \dfrac{3\pi}{2}$ ;

(iii) para x = 0, temos que $0 = 3\,\textrm{sen}\,\alpha$ , ou seja, $0 = \,\textrm{sen}\,\alpha$ . Isso significa que $\alpha = 0$ ou $\alpha = \pi$ .

Usando os conhecimentos de trigonometria, analisando (ii) e (iii) e lembrando que $x = 3\,\textrm{sen}\,\alpha$ , devemos tomar $\alpha$ no intervalo $\left[\pi,\, \dfrac{3\pi}{2}\right]$ para que x esteja no intervalo [-3, 0]. Se fosse tomado $\alpha$ no intervalo $\left[0,\, \dfrac{3\pi}{2}\right]$ , então x ficaria no intervalo $[-3,\, 3]$ .

Considerando então todas essas informações, podemos escrever que:

$\int_{-3}^{0} \sqrt{9-x^2}\, dx = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{\pi} \sqrt{9-(3\,\textrm{sen}\,\alpha)^2}\left(3\cos \alpha \right)\,d\alpha$

$= 9 \int_{\frac{3\pi}{2}}^{\pi} \sqrt{1 - \,\textrm{sen}^2\,\alpha} \cos \alpha \,d\alpha$

Lembrando da identidade trigonométrica fundamental, sabemos que $\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \,\textrm{sen}^2\,\alpha}$ . E já que $\alpha$ está no intervalo $\left[\pi,\, \dfrac{3\pi}{2}\right]$ , sabemos que $\cos \alpha$ é negativo. Portanto, nesse caso devemos ter $\cos \alpha = - \sqrt{1 - \,\textrm{sen}^2\,\alpha}$ . Podemos então escrever que:

$= -9 \int_{\frac{3\pi}{2}}^{\pi} \cos^2 \alpha \,d\alpha$

Considerando todas essas informações, tente concluir essa parte do exercício.

Observação

Se desejar revisar a técnica de integração por substituição trigonométrica, então eu gostaria de sugerir a videoaula "37. Cálculo I - Integração por Substituição Trigonométrica". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

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