derivada paracial (x,y)

por **jmario** » Seg Mai 24, 2010 08:37

Como se calcula a dertiva parcial das seguintes funções:

$f(x,y)=sen\left(\frac{x}{1+y} \right)$

$\frac{\partial f}{\partial x}=?$
$\frac{\partial f}{\partial y}=?$

e a derivada parcial da outra função:

$f(x,y)={e}^{xy}lnz$
$\frac{\partial f}{\partial x}=?$
$\frac{\partial f}{\partial y}=?$
$\frac{\partial f}{\partial z}=?$

Alguém pode me ajudar?

Grato
José Mario

por **Douglasm** » Seg Mai 24, 2010 13:08

Olá jmario. Derivadas parciais consistem em derivar a equação em relação a uma variável, enquanto mantém as outras constantes. Farei a primeira para que você veja como é, e depois sugiro que tente você mesmo fazer as demais.

$f(x,y) = sen \left(\frac{x}{1+y}\right) \; \therefore \; \frac{\partial \left[sen \left(\frac{x}{1+y}\right)\right]}{\partial x} = \left[cos\left(\frac{x}{1+y}\right)\right] . \frac{1}{1+y}$

Aqui, tudo o que foi feito foi derivar a função, apenas em relação a variável x, considerando y como constante. Processo análogo é usado para resolver as outras. Caso ainda persista a dúvida, poste aqui.

Até a próxima.

por **jmario** » Ter Mai 25, 2010 09:30

Oi Douglas

Não daria para você resolver todas as derivadas para eu tentar entender, porque eu não entendi.
Não era para ficar só
$sen\left(\frac{1}{1+y} \right)$
porque tem que multiplicar $cos\left(\frac{x}{1+y} \right).\left(\frac{1}{1+y} \right)$
Não entendi porque tem que multiplicar.
E tem também a segunda função para derivar, vc não poderia resolver pra mim?

Agradeço muito
José Mario

por **Douglasm** » Ter Mai 25, 2010 11:59

Para começar, eu vou listar todas as derivadas que serão usadas na resolução dos problemas. É indispensável que você veja cada uma delas em seu livro de cálculo, para que possa entender de fato como foi feito.

$\frac{d (sen u)}{dx} = (cos u). \frac{du}{dx}$

$\frac{d(e^u)}{dx} = (e^u). \frac{du}{dx}$

$\frac{d\ln u}{dx} = \frac{1}{u}.\frac{du}{dx}$

Vou continuar de onde parei:

$\frac{\partial f}{\partial y} = \left[cos\left(\frac{x}{1+y}\right)\right] . \frac{-x}{(1+y)^2}$

Agora a segunda equação:

a) $\frac{\partial f}{\partial x} = e^{xy} . \frac{\partial(xy)}{\partial x} . \ln z = e^{xy} . y . \ln z$

b) $\frac{\partial f}{\partial y} = e^{xy} . \frac{\partial (xy)}{\partial y} . \ln z = e^{xy} . x . \ln z$

c) $\frac{\partial f}{\partial z} = e^{xy} . \frac{1}{z}$

Como você pode ver, tudo que foi feito foi derivar as equações normalmente considerando as outras variáveis como constantes de acordo com a derivada pedida.

Até a próxima.

por **jmario** » Ter Mai 25, 2010 12:19

Eu não entendi a derivada de
$\frac{\partial f}{\partial y}$
porque virou $\frac{-x}{\left(1+y \right)^{2}}$
não está derivando em relação o y, assim não era para ficar $\frac{x}{1+1}$

Me desculpe, mas não entendi de novo

Grato
José Mario

por **Douglasm** » Ter Mai 25, 2010 12:33

Veja se entende o processo:

$\frac{x}{1+y} = x . (1+y)^{-1}$

$\frac{\partial \left[\frac{x}{1+y}\right]}{\partial y} = \frac{\partial \left[x . (1+y)^{-1}\right]}{\partial y} =$

$= (-1) . x . (1+y)^{-1-1} . \frac{\partial (1+y)}{\partial y} = (-1) . x . (1+y)^{-2} . 1 = \frac{-x}{(1+y)^2}$

Eu sugiro que dê uma revisada geral em derivadas, pois na verdade as suas dúvidas não dizem respeito as derivadas parciais, mas as derivadas "normais" mesmo.

por **jmario** » Ter Mai 25, 2010 13:00

Eu entendi tudo, só não entendi o começo

porque $\frac{x}{1+y}$ vira
$x(1+y)^{-1}$
o x não era para ser constante
Não entendi essa derivada
Me ajude a entender

Grato
José Mario

por **Douglasm** » Ter Mai 25, 2010 13:06

Na verdade isso é bastante simples. Qualquer número, expressão, enfim...qualquer coisa elevada a expoente negativo significa na verdade o inverso desse elevado ao expoente positivo de mesma magnitude. Por exemplo:

$\frac{1}{2^n} = 2^{-n}$

Logo:

$\frac{x}{1+y} = x(1+y)^{-1}$