Limite Logarítmico

por **MCordeiro** » Qua Mai 20, 2020 16:48

Resolva sem utilizar L'hospital:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{ln(1+3sen(x))}{sen(x)}$

já tentei propriedades logarítmicas,multiplicar a fração por conjugados mas não chego a lugar nenhum.

Gab: 3

por **LuizAquino** » Qua Mai 20, 2020 23:46

MCordeiro escreveu:Resolva sem utilizar L'hospital:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{ln(1+3sen(x))}{sen(x)}$

já tentei propriedades logarítmicas,multiplicar a fração por conjugados mas não chego a lugar nenhum.

Gab: 3

Olá MCordeiro , faça a substituição de variáveis:

$u = 3\,\textrm{sen}\,(x)$

Note que quando $x\to 0$ , teremos $u\to 0$ . Desse modo, o limite pode ser reescrito como:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1 + 3\,\textrm{sen}\,(x))}{\textrm{sen}\,(x)} = \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1 + u)}{\dfrac{u}{3}}$

Efetuando a divisão e usando propriedades dos logaritmos, podemos dizer que:

$\lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1 + u)}{\dfrac{u}{3}} = \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1 + u)}{1} \cdot \dfrac{3}{u}$

$= \lim_{u\to 0}\dfrac{3}{u}\ln(1 + u)$

$= \lim_{u\to 0}3\ln(1 + u)^\frac{1}{u}$

$= 3\ln \left[\lim_{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}\right]$

Agora lembre do limite exponencial:

$\lim_{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} = e$

Tente finalizar o exercício com essa informação. Comente aqui o que você conseguiu.

Obs.: se tiver dúvida sobre o limite exponencial, veja aos 6:54 da minha videoaula: https://www.youtube.com/watch?v=2GRCPZy3YdY&list=PLFAD938CE631F6449&index=10&t=0s .

por **MCordeiro** » Qui Mai 21, 2020 17:34

Consegui terminar,obrigado.

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