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[Limites de Integração] Como achar os limites de integração?

[Limites de Integração] Como achar os limites de integração?

Mensagempor Miine_J » Sáb Nov 10, 2018 03:13

Boa noite pessoal.
Então, estou tendo muita dificuldade de achar limites de integração depois de feita uma mudança de variáveis, porque nem sempre sei qual o gráfico que a mudança gera nem sei como se deveria calcular algebricamente. Vejo o pessoal fazendo certos calculos pra achar, mas n entendo qual a lógica, se alguém pudesse explicar seria ótimo. Um exemplo em que não sei como calcular:

1. Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:

\int_{1}^2 \int_{0}^x (x^2+y^2)^{-1}  dydx

Os exemplos mais "triviais" são okay, mas esses exemplos q precisa de algum calculo ou coisa do tipo n entendo como deve ser feito. Pensei em substituir x^2+y^2 por r^2 mas sinceramente n sei oq fzr dps dai
Miine_J
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Re: [Limites de Integração] Como achar os limites de integra

Mensagempor Gebe » Sáb Nov 10, 2018 17:36

Antes, convém lembrar que em coordenadas polares:
\\
x=rcos(\theta)\\
y=rsen(\theta)\\
\sqrt[]{x^2+y^2}=r\\
dxdy=rd\theta dr

Temos duas formas para avaliar essa integral, uma é redesenhar a figura a partir das integrais dadas e então reescrever as integrais nas novas coordenadas, já a outra forma é fazer a substituição das variaveis diretamente.
A segunda normalmente é menos trabalhosa, mas nem sempre.

Vamos fazer utilizando a susbstituição.

Como tu sugeriu, a função fica 1/r², precisamos então mudar os limites.

Os limites da variavel "y" são [0 , x], logo:
\\
0\leq y\leq x\\
Substituindo:\\
0\leq rsen\theta \leq rcos\theta\\
\\
O\;limite\;à\;esquerda\;permanece\;inalterado\;(origem\;do\;sistema)\\
à \;direita:\\
rsen\theta \leq rcos\theta\\
\theta \leq \frac{\pi}{4}

Agora passamos para os limites de "x", [1 , 2]:
\\
1\leq x\leq 2\\
Substituindo:\\
1\leq rcos\theta \leq 2\\
\\
Perceba\;que\;já\;temos\;o\;valor\;de\;\theta=\frac{\pi}{4},\;logo:\\
1\leq rcos\frac{\pi}{4} \leq 2\\
\\
à \;esquerda:\\
1\leq rcos\frac{\pi}{4}\\
r \geq \sqrt[]{2}\\
\\
à \;direita:\\
rcos\frac{\pi}{4}\leq 2\\
r \leq 2\sqrt[]{2}\\
\\

Agora podemos montar as integrais:
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r^2}rd\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r}d\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\left\frac{\theta}{r}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} dr
\\
\frac{\pi}{4}\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\frac{1}{r} dr\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left|2\sqrt[]{2} \right|-ln\left|\sqrt[]{2} \\
\\\right| \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left(2\sqrt[]{2} \right)-ln\left(\sqrt[]{2} \\
\\\right) \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}ln(2)

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.
Gebe
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Re: [Limites de Integração] Como achar os limites de integra

Mensagempor Miine_J » Dom Nov 11, 2018 08:17

Gebe escreveu:
Agora podemos montar as integrais:
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r^2}rd\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r}d\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\left\frac{\theta}{r}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} dr
\\
\frac{\pi}{4}\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\frac{1}{r} dr\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left|2\sqrt[]{2} \right|-ln\left|\sqrt[]{2} \\
\\\right| \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left(2\sqrt[]{2} \right)-ln\left(\sqrt[]{2} \\
\\\right) \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}ln(2)

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.


Sim, obrigada, ajudou sim!
Miine_J
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.