Análise real

por **matmatco** » Qui Jun 29, 2017 08:28

O exercício é:
Prove que se $f,g:\left[a,b \right]\rightarrow R$ são integráveis então são também integráveis as funções $\varphi,\psi:\left[a,b \right]\rightarrow R$ , definidas por $\varphi\left(x \right)=max\left(f\left(x \right),g\left(x \right) \right)$ e $\psi\left(x \right)=min\left(f\left(x \right),g\left(x \right) \right)$ . Conclua daí que são integráveis as funções ${f}_{+},{f}_{-}:\left[a,b \right]\rightarrow R$ dadas por ${f}_{+}=0$ se $f\left(x \right)\leq 0$ , ${f}_{+}\left(x \right)=f\left(x \right)$ se $f\left(x \right)> 0$ ; ${f}_{-}\left(x \right)=0$ se $f\left(x \right)\geq 0$ e ${f}_{-} = - f\left(x \right)$ se $f\left(x \right) < 0$ (supondo f integrável).

minha dúvida é como escrever que a oscilação da ${f}_{+}\left(x \right)$ é $\leq$ que a oscilação de $f\left(x \right)$ .

por **adauto martins** » Ter Jul 11, 2017 15:12

$w(f)-w({f}_{+}=sup(f)-inf(f)-(sup({f}_{+})-inf(f}_{+})=sup(f)-sup({f}_{+}+inf({f}_{+)})-inf(f)...inf({f}_{+}=inf(f),pq?...$ ,logo:
$w(f)-w({f}_{+})=sup(f)-sup({f}_{+}\prec \left|sup(f)-sup({f}_{+}) \right|\prec \epsilon$ ,como

por **matmatco** » Qua Jul 12, 2017 17:08

Olá Adauto, tudo bem?

Não entendi o que vc quis dizer ficou muito confuso, mas consegui resolver a questão. Segue a solução caso queira saber.

Sabemos que $f{(x)}_{+}=max(f\left(x \right),0)$ e $f{(x)}_{-}=max(-f\left(x \right),0)$ então $\left|f \right|= {f}_{+}(x) + {f}_{-}(x)$ , logo ${f}_{+}(x)\leq\left|f \right| e {f}_{-}(x)\leq\left|f \right|$ ${f}_{+}(x)\leq\left|f \right|$ e ${f}_{-}(x)\leq\left|f \right|$ , integrando nós temos $\int_{}^{}{f}_{+}(x)\leq\int_{}^{}\left|f \right|$ sendo f integrável implica ${f}_{+}(x)$ também é integrável.( análogo para ${f}_{-}(x)$ .

por **adauto martins** » Qui Jul 13, 2017 13:06

a sua duvida era qdo as oscilaçao de $f(x),w(f(x),[a,b])...{f}_{+},w({f}_{+},[a,b)}$ ,pela definiçao dada pelo problema,conclui o q. fiz...no ponto $x=0,inf(f,...)=inf({f}_{+})...$

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