[Questão] Teorema do Confronto dos Limites

por **elisafrombrazil** » Sáb Jan 21, 2017 10:45

Utilie o Teorema do Confronto para provar que se a função f é limitada numa vizinhança de

e

satisfaz

$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0,$ então $\lim_{x \rightarrow a} f(x) . g(x) = 0.$

por **e8group** » Qua Fev 01, 2017 17:14

Hey ! Dizer que f é limitada numa vizinhança de a means que existe uma cosnatante não negativa

e uma vizinhança

de

tal que $|f(x)| \leq M$ para todo $x \in V$ . Nota que |(g(x)|

é sempre não negativo .... Daí, mutiplicando ambos lados da desiguladade por |g(x)|

vem que
$|g(x)| |f(x)| \leq M |g(x)|$ para todo $x \in V$ ou ainda $0 \leq | f(x)g(x)| \leq M |g(x)|$ para todo $x \in V$ .

Daí é só passar ao limite com $x \to a$ e notar que $\lim_{x \to \text{ * } } | \cdots | = 0 \iff \lim_{x \to \text{ * } } \cdots = 0$

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