[Derivada] ajuda para achar quais pontos a função é diferenc

por **leohapo** » Seg Nov 21, 2016 17:46

Olá, gostaria de saber para que pontos a função h(x)= |x-1|+|x+2| é diferenciável? E como é o gráfico de h(x) e h'(x).

por **adauto martins** » Sáb Dez 10, 2016 11:18

1)
$\left|x-1 \right|=x-1,(x-1)\succeq 0...x \succeq 1 \left|x-1 \right|=-(x-1),(x-1)\prec 0...x\prec 1$

$\left|x+2 \right|=x+2,(x+2) \succeq 0...x \succeq -2 \left|x+2 \right|=-(x+2),(x+2)\prec 0...x\prec -2$

2)
o dominio da funçao sera:
D(h)={ $x\prec -2,-2\preceq x\prec 1,x\succeq 1$ }

p/ $x\prec -2\Rightarrow h(x)=-(x-1)+(-(x+2))=-2x-1\Rightarrow h'(x)=-2...$

p/ $-2\preceq x\prec 1\Rightarrow h(x)=-(x-1)+(x+2)=3\Rightarrow h'(x)=0...$

p/ $x\succeq 1\Rightarrow h(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1\Rightarrow h'(x)=2...$

agora para sabermos os pontos onde a funçao é diferencial,teremos q. ter:

a) $h'({-2}^{-})=h'({-2}^{+})...h'({1}^{-})=h'({1}^{+})...$ ,ou seja verificar se a derivada da funçao nesses pontos,a saber (-2,1) é continua,pois nos demais pontos da reta h'(x)

é continua,como mostramos acima...
mostrar q. a funçao é continua é mostrar os seguintes limites:
$\lim_{x\rightarrow {-2}^{-}}(h(x)-h(-2)/(x-(-2))=\lim_{x\rightarrow {-2}^{+}}(h(x)-h(-2)/(x-(-2))...$

da mesma forma...
$\lim_{x\rightarrow {1}^{-}}(h(x)-h(1)/(x-1)=\lim_{x\rightarrow {1}^{+}}(h(x)-h(1)/(x-1))...$ ,fica como exercicio...