[LIMITES] Dúvida em questão de Limites no infinito

[Jacques]

Olá, estou com dúvida na seguinte questão.

1 ) (Essa é a letra B da questão 82 do Livro do Iezzi Vol.8)

Quando tendo resolver a questão resulta nisto


Veja que o denominar iria resultar em zero, e além disto, no solucionário do livro diz que a resposta é

<-- Forma como está no solucionário

Agradeço a atenção;

[vitor_jo]

Vê só, estou meio enrolado aqui, mas acho que isso pode ajudar.
Partindo dessa última expressão, antes do infinito
Cortando x em cima e embaixo tem-se

lim x> - infinito (3+4/x) / (-(1+3/x+4/x²)^(1/2)+1)

Ok, nada novo.

Tomando 3 +4/x= u, limx-> - infinito, u--> 3 (pela esquerda)

Se 3+4/x=4, 3/x +4x² =u/x

Agora volta isso lá em cima,

lim u-> 3 (pela esquerda) u/[(-(1+u/x)^(1/2) +1)] *

Como 3 +4/x= u, então x= 4/(u-3), voltando na equação acima

lim u->3 (esqu) u/-[1+(u/4/u-3)^(1/2)+1] = u/[-(1+(u²-3u)/4)^(1/2) +1]

Jogando o limite, 3(esq)/[-(1+0/4)^(1/2)+1]


Admiti x->3(esq) para ser rigoroso. A ideia é que ficaria
3(esq)/[-(1-0.0000..1)^(1/2) +1] ->>> 3(esq)/um número positivo mas que tende a zero pela direta.
Assim dá + infinito.

[vitor_jo]

(perdão pela escrita em extenso, ainda não dominei o latex)

[Jacques]

Agradeço pela resposta, eu consegui entender a escrita sem problemas. Quando questionei ao meu professor ele também citou que esse denominador não daria 0 e sim um numero bem pequeno, mas ele não fez todo esse processo.
Grato por sua atenção

[vitor_jo]

Sim, eu pensei em não desenvolver tudo isso, mas não estava convencido que dava p/ mais infinito a coisa, daí fui manipular. :P
Abraço.