Método da substituição

por **leticiapires52** » Ter Out 06, 2015 18:04

por **nakagumahissao** » Ter Out 06, 2015 19:39

leticiapires52,

Boa tarde. Na próxima vez, coloque junto com o enunciado, tudo o que já tentou fazer para resolver o problema, senão você acabará ficando sem nenhuma resposta pois é uma regra clara deste site. Vou no entanto tentar responder sua pergunta desta vez.

$\int_{0}^{3} x\sqrt{1+x} \; dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;[1]$

Tomemos:

u^2 = 1 + x

Dessa maneira, teremos:

$x = u^2 - 1 \;\;\; e \;\; dx = 2udu$

e também:

$x = 0 \Rightarrow u^2 = 1 + x \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u = 1$

e

$x = 3 \Rightarrow u^2 = 1 + 3 \Rightarrow u^2 = 4 \Rightarrow u = 2$

Assim, a integral ficará:

$\int_{0}^{3} x\sqrt{1+x} \; dx = \int_{1}^{2} (u^2 - 1)u \cdot 2u \; du =$

$= \int_{1}^{2} (u^2 - 1)2u^2 \; du =$

$= \int_{1}^{2} 2u^{4} - 2u^{2} \; du =$

$= \int_{1}^{2} 2u^{4} \; du - \int_{1}^{2} 2u^{2} \; du =$

$= \left[\frac{2}{5}u^{5} - \frac{2}{3}u^{3} \right]_{1}^{2} =$

$= \left[\frac{2}{5}2^{5} - \frac{2}{3}2^{3} - \frac{2}{5}1^{5} + \frac{2}{3}1^{3} \right]_{1}^{2} = \frac{64}{5} - \frac{16}{3} - \frac{2}{5} + \frac{2}{3} =$

$= \frac{116}{15}$

$\blacksquare$