Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

por **felipe_08** » Qui Abr 23, 2015 17:36

Gostaria de saber, passo a passo, como calcular o seguinte limite:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^5+x^2}$

Eu tentei dividir toda a equação por x^5

, que tem maior expoente no denominador, mais acabou dando uma soma de infinitos e não conseguir terminar. A resposta desse limite é 10, só gostaria de saber como chegar a esse resultado.

por **nakagumahissao** » Qui Abr 23, 2015 20:08

Usando o triângulo de Pacal para n = 5 em

${(1+x)}^{5}$

Teremos:

${(1+x)}^{5}= 1\cdot{1}^{0}{x}^{5} + 5\cdot{1}^{1}{x}^{4}+10\cdot{1}^{2}{x}^{3}+10\cdot{1}^{3}{x}^{2} + 5\cdot{1}^{4}{x}^{1} + 1\cdot{1}^{5}{x}^{0}$

${(1+x)}^{5}= = {x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2} + 5x + 1$

E a fração ficará da seguinte forma:

$\frac{{(1+x)}^{5} - (1+5x)}{x^5 + x^2} = \frac{{x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2} + 5x + 1 - 1 - 5x}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)}=$

$= \frac{{x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2}}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)} =$

$= \frac{{x}^{2}\left({x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10 \right)}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)} = \frac{{x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10}{{x}^{3} + 1}$

Agora, por fim, podemos calcular o limite dado:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\left(1+x \right)}^{5} - (1 + 5x)}{{x}^{5} + {x}^{2}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10}{{x}^{3} + 1} =$

$= \frac{0 + 0+0+10}{0 + 1} = \frac{10}{1} = 10$