[Derivada] Taxas Relacionas

por **wellkirby** » Qui Mar 19, 2015 19:25

Olá Pessoal,

Estava fazendo uma lista e não consegui entender essa questão:

"Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 35 km/h, e o navio B está indo para o norte a 25 km/h. Quão rápido estará variando a distância entre eles às 4 horas da tarde?"

Alguém poderia me explicar? Tenho um problema com taxas relacionadas, se alguém tiver uma boa video aula ou material para indicar, ficaria muito agradecido

Att

por **Baltuilhe** » Sex Mar 20, 2015 10:30

Bom dia!

Podemos ver que, se o navio A estiver no ponto (0,0) o navio B estará no ponto (100,0).
Equação para o navio A:
y=-35t

Ponto A (posição atualizada do navio): (0,-35t)

Equação para o navio B:
y=25t

Ponto B (posição atualizada do navio): (100,25t)

Distância entre os dois (ao quadrado):
$d^2=\left((100-0)^2+(25t-(-35t))^2\right)$
$d^2=\left(100^2+(60t)^2\right)$
$d^2=\left(10000+3600t^2\right)$

Distância entre os dois:
$d=\sqrt{\left(10000+3600t^2\right)}$

A taxa de variação é a derivada da função. Derivando-a para t=4h, teremos:
$d'=(1/2)\left(10000+3600t^2\right)^{1/2-1}(10000+3600t^2)'$
$d'=(1/2)\left(10000+3600t^2\right)^{-1/2}(2\cdot 3600t)$
$d'=\frac{3600t}{\sqrt{\left(10000+3600t^2\right)}}$

Substituindo t=4h:
$d'=\frac{3600\cdot 4}{\sqrt{\left(10000+3600(4)^2\right)}}$
$d'=\frac{14400}{\sqrt{\left(10000+3600\cdot 16\right)}}$
$d'=\frac{14400}{\sqrt{\left(10000+57600\right)}}$
$d'=\frac{14400}{\sqrt{67600}}$
$d'=\frac{14400}{260}\approx 55,38km/h$
Como o valor é positivo, estão se afastando deste valor.

Espero ter ajudado!

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