[Limite] Limite de funções piso (maior inteiro)

por **ViniciusAlmeida** » Sáb Fev 14, 2015 10:09

Seja $f(x)= [cos x], -\pi \leq x \leq \pi$ . (Os colchetes simbolizam a função piso)

a) Calcule cada limite, se existir.
I) $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$
II) $\lim_{x \rightarrow \pi/2-} f(x)$
III) $\lim_{x \rightarrow \pi/2+} f(x)$
IV) $\lim_{x \rightarrow \pi/2} f(x)$

b) Para quais valores de a existe $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ ?

Sei que a função maior inteiro representa o maior inteiro que não ultrapasse o valor de X mas não consigo responder essa questão e não tenho o gabarito. Obrigado desde já!

por **adauto martins** » Qua Fev 18, 2015 10:56

$f(x)=cosx\Rightarrow \left[f(x) \right]=\left[cosx \right]$
por definiçao temos:
$\left[f(x) \right]\preceq \left[f(x) \right]\prec \left[f(x) \right]+1,p/\left[f(x) \right]\in Z$ ,entao
$\left[cox \right]\preceq cosx \prec \left[cosx \right]+1$
logo...I) $\lim_{x\rightarrow 0}\left[cosx \right]\preceq \lim_{x\rightarrow 0}cosx\prec \lim_{x\rightarrow 0}cosx+1\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\left[cosx \right]=cos0=1$
II) $\lim_{x\rightarrow {\pi/2}^{-}}\left[cosx \right]\preceq \lim_{x\rightarrow {\pi/2}^{-}}cosx=cos(\pi/2)=0$ ...
o mesmo valor p/III,IV
b)por definiçao
$x\preceq a \prec x+1,p/x\in Z$