Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

por **Fernandobertolaccini** » Ter Fev 03, 2015 12:43

Se

, calcular $\int_{c}^{ }A.dR$ ao longo das retas que ligam sucessivamente os pontos (0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,1) , (2,1,1)

Resp: 10

Como fazer ?

Obrigado !!

por **Russman** » Ter Fev 03, 2015 19:07

O primeiro passo é calcular o rotacional do campo vetorial em questão. Se o mesmo for nulo para qualquer ponto (x,y,z)

então a a integral de linha terá um valor independente do caminho. Infelizmente, não é o caso. Então, primeiramente, calcule o produto interno $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{ \mathrm{d}r}$ onde $\overrightarrow{ \mathrm{d}r} = dx \ \widehat{i} + dy \ \widehat{j} + dz \ \widehat{k}$ .

Obteremos $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = (2y+3)\ dx + xz \ dy + (yz-x) \ dz$ .

Agora, o caminho é dividido em 3 partes. Assim,

$\int_C \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{ \mathrm{d}r} +\int_{C_2} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{ \mathrm{d}r} + \int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{ \mathrm{d}r}$

onde cada caminho C_i

é a reta que liga os pontos consecutivos.

Como as retas são em 3D o melhor caminho é parametrizá-las. A primeira, deve passar por (0,0,0) e (0,0,1). Assim, uma boa parametrização seria (x,y,z) = (0,0,t)

.

Daí,

$\int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{1} \left [(2y(t)+3) dx(t) + x(t)z(t) dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) dz(t) \right ] = 0$ .

A parametrização para o próximo caminho pode ser (x,y,z) = (0,t,1)

de modo que a integral C_2 também será nula.

Já para o caminho C_3 temos (x,y,z) = (t,1,1)

de modo que

$\int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{2} \left [(2y(t)+3)\ dx(t) + x(t)z(t) \ dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) \ dz(t) \right ] =$
$= \int_{0}^{2} 5 dt = 5 (2-0) = 10$ .

O único caminho que contribui para a integral é o último.

Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

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Re: Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de l

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