[Equações Diferenciais] Exercício URGENTE!

por **lucasfbfb** » Seg Nov 17, 2014 10:36

Tou precisando fazer a questão a baixo e sinceramente não sei se o método que eu fiz esta certo. Eu estou desesperado, pf me ajudem!!!

De acordo com a lei de parento da economia, a taxa de variação (negativa) do número de pessoas P em uma economia estável que tem uma renda de pelo menos x reais é inversamente proporcional à renda dessas pessoas. Expresse esta lei como uma equação diferencial e resolva a equação para obter a função P(x).

minha ultima resolução o resultado deu -C/x^2, sendo c uma constante

por **nakagumahissao** » Seg Nov 17, 2014 10:50

lucasfbfb,

Essa não tenho total certeza, mas de acordo com o enunciado do problema:

$-\frac{dP}{dx} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{dP}{dx} = -\frac{1}{x}\Leftrightarrow dP = -\frac{1}{x}dx \Rightarrow \int_{}^{}P = \int_{}^{}-\frac{1}{x}dx \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}P = \int_{}^{}-\frac{1}{x}dx \Leftrightarrow \int_{}^{}P = -\int_{}^{}\frac{1}{x}dx \Rightarrow P = -ln\left|x \right| + C$

Assim, a função procurada é:

$P(x) = -ln\left|x \right| + C$

Se alguém puder me informar se esta solução está correta, agradeço desde já.

por **lucasfbfb** » Seg Nov 17, 2014 15:23

nakagumahissao escreveu:lucasfbfb,

Essa não tenho total certeza, mas de acordo com o enunciado do problema:

$-\frac{dP}{dx} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{dP}{dx} = -\frac{1}{x}\Leftrightarrow dP = -\frac{1}{x}dx \Rightarrow \int_{}^{}P = \int_{}^{}-\frac{1}{x}dx \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}P = \int_{}^{}-\frac{1}{x}dx \Leftrightarrow \int_{}^{}P = -\int_{}^{}\frac{1}{x}dx \Rightarrow P = -ln\left|x \right| + C$

Assim, a função procurada é:

$P(x) = -ln\left|x \right| + C$

Se alguém puder me informar se esta solução está correta, agradeço desde já.

Fiz como sua metodologia então seria assim?

$\frac{1}{x}\Rightarrow dx=-\frac{1}{{x}^{2}}$

$P= \frac{1}{x} \Leftrightarrow dP = \frac{-1}{{x}^{2}}dx \Leftrightarrow \int_{}^{} P = - \int_{}^{} \frac{1}{{x}^{2}}dx \Leftrightarrow -\int_{}^{} {x}^{-2}dx \Leftrightarrow -{x}^{-1} + c$

${x}^{-1} \Rightarrow dx = {x}^{-2}$