Conclusão sobre Limite de sucessões

por **EREGON** » Sex Nov 14, 2014 15:00

Boa tarde,

gostaria de pedir ajuda para entender como se identifica a tendencia deste limite.

Obrigado

por **e8group** » Dom Nov 16, 2014 20:03

Uma forma com mais rigor matemático :

Lemma :

Se uma sequência (x_n)

é convergente para $x \in \mathbb{N}$ , então dado y < x

existe $N \in \mathbb{N}$ tal que x_n > y

. Prova :

Basta fazer $\espilon = x - y > 0$ e usar a definição de convergência de sequência .

Consequência :

Defina $x_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ . Note que a sequência (x_n)

é convergente para k > 1

.Daí , dado $y \in (1 , k)$ ,aplicando o lemma , temos a existência de $m \in \mathbb{N}$ tal que x_n > y

e assim $a_{n+1} > a_n y , \forall n \geq m$ (pois a_n > 0 ) . Veja que

$a_{m+1} > a_{m} y$

$a_{m+2} > a_{m+1} y > a_m y^2$

$a_{m+3} > a_{m+2} y > a_m y^3$

(...)

$a_{m+k} > a_m y^k , k =1,2, \hdots$ .

Daí , passando ao limite com $k \to + \infty$ , temos $a_m y^k \to + \infty$ e por isso $lim(a_n) = + \infty$ . Caso queira mais rigor , faremos o seguinte , você propõe um número arbitrário , grande o quanto você queira, e mostraremos que a sequência (a_n)

contém infinitamente muitos termos (de índices consecutivos ) que excede este número escolhido ... traduzindo

$\lim a_n = + \infty . \equiv . \forall W>>0 , \exists M \in \mathbb{N} : n \geq M \implies a_n > W$ .

(A notação " >>" é p/ enfatizar que W está distante da origem ) .

Fazendo o seguinte rascunho :

a_m y^k > W

temos $y^k > \frac{W}{a_m}$ implicando $k > log_y \frac{W}{a_m}$ (pois y > 1

) . Seja então k_0

o menor inteiro positivo que satisfaz esta desigualdade (P.S.: a existência de k_o é assegurada pela pela propriedade Arquimediana ) .Daí , para qualquer índice

$k \geq k_o$ temos $k > log_y \frac{W}{a_m} \implies y^k > \frac{W}{a_m} \implies a_m y^k > W$ .

Mas , como $a_{ m + k} > a_m y^k$ . Logo , por transitividade , $a_{n} > W$ (com n = m +k