[Equações diferenciais] Fator integrante

por **brunojorge29** » Qua Jun 19, 2013 10:52

Não estou conseguindo resolver esta equação, por favor me ajudem pois cairá uma parecida na minha prova.

Dada a equação diferencial. $\left({e}^{x+y} + y{e}^{y} \right)dx + \left(x{e}^{y} - 1 \right)dy = 0, y\left(0 \right) = -1$ .
a) Encontre o fator integrante

b) Resolva o problema de valor inicial.

por **adauto martins** » Ter Out 21, 2014 15:54

$({e}^{x+y}+y{e}^{y})dx+(x{e}^{y}-1)dy=0,onde M(x,y)=({e}^{x+y}+y{e}^{y})e N(x,y)=x{e}^{y}-1...{M}_{y}={e}^{x+y}+{e}^{y}+y{e}^{y}$ ... e ${N}_{x}=x.{e}^{y}+{e}^{y}$ ...logo ${M}_{y}\neq{N}_{x}$ a equaçao nao e exata...logo vamos procurar uma funçao F=F(x) tal q. $\partial(MF)/x=\partial(NF)/y$ ...desenvolvendo a derivada parcial e arranjando F, teremos $F(x)={e}^{\int_{}^{}R(x)}tal q. R(x)=({M}_{x}-{N}_{y})/N(y)$ ...logo:
F(x)= ${e}^{\int_{}^{}({e}^{y}+y-x)/(x+1)dx}$ ...p/y(0)=-1... F(x)= ${e}^{\int_{}^{}({e}^{-1}-1-x)/(x+1)dx}$ ,acha-se F=F(x),F e o fator integrante...depois multiplique o pela equaçao e resolva-a...

por **adauto martins** » Ter Out 21, 2014 18:50

esqueci...y(0)=-1,p/x=0,logo... $F(x)={e}^{\int_{}^{}{e}^{-1}-1-0/(0+1)dx}={e}^{\int_{}^{}(({e}^{-1})-1)dx}={e}^{x({1-e/e})}$

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