[Derivada - Regra de Cadeia]

por **anner** » Sex Jul 04, 2014 00:14

Boa noite, pessoal. Tô com uma certa dificuldade numa derivada aqui, já quebrei a cabeça aqui e não consigo chegar a resposta do gabarito.
a questão é a seguinte:
$f(x)=[sen(x)]^{[2x^x-x+3]}$

comecei levando em consideração, primeiramente, a derivação de u^v

tendo como v= [2x^x-x+3]

, e posteriormente a de "v". Entretanto, o problema, acredito, esta realmente na derivação de u^v

. Pois o expoente da expressão, no gabarito, está bem diferente o meu.
Eis a resposta que encontrei e a do gabarito, respectivamente:
$(2x^x-x+3){[sen(x)]^{[2x^x-x+2]}}cos(x)+{[sen(x)]^{[2x^x-x+3]}}ln[sen(x)](2x^x)[1+ln(x)]-{[sen(x)]^{[2x^x-x+3]}}ln(sen(x))$

e

${[sen(x)]^{[2x^x-x+3]}}{[2x^x]-x+3}cotg(x)+ln[sen(x)][2x^x(ln(x)+1)-1]}$

Alguém poderia me ajudar? Mto Obrigada

por **e8group** » Sex Jul 04, 2014 01:17

Como derivar expressões da forma $f(x)^{g(x)}$ ?

A dica é escrever $f(x)^{g(x)}$ na base

, para tal, note que

$f(x)^{g(x)} = epx(ln\left(f(x)^{g(x)}\right) \right)$ ( Aqui usamos que epx composta com ln dá a aplicação identidade e vice-versa ) .

Utilizando propriedades de logaritmo , segue-se que

$f(x)^{g(x)} = epx(g(x) \cdot ln(f(x))$ .

Observe que estamos avaliando exp(x) =e^x

em $g(x) \cdot ln(f(x))$ .Agora é possível derivar $f(x)^{g(x)}$ pois conhecemos a derivada de exp(x) , ln(x)

e temos a regra da cadeia e produto .

Aplicando a regra da cadeia e regra do produto obterá

$(f(x)^{g(x)})' = (epx(g(x) \cdot ln(f(x)) )' =epx'(g(x) \cdot ln(f(x)) \cdot (g(x) \cdot ln(f(x)) ' = \boxed{epx(g(x) \cdot ln(f(x)) \cdot \left(g'(x) \cdot ln(f(x)) + \frac{g(x)}{f(x)} f'(x) \right) }$

Ou se preferir

$\boxed{(f(x)^{g(x)})' =f(x)^{g(x)} \left(g'(x) \cdot ln(f(x)) + \frac{g(x)}{f(x)} f'(x) \right) } }$

Recomendo que tente fazer o exercício seguindo o mesmo raciocínio .

por **Daniela[** » Sáb Jul 05, 2014 14:40

Boa Tarde!

Estou com dúvida em duas resoluções de problemas envolvendo taxas relacionadas, gostaria de um auxílio!

1- O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico á taxa de 4,5 polegadas cúbicas por minuto. Ache a taxa de variação do raio quando este é de 2 polegadas. Lembrando que o volume da esfera é dado por V= 4pir³/3.

2- Uma pedra cai livremente em um lago parado. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada aumenta a uma taxa de 16cm/s. Qual a taxa de variação da área em relação ao tempo, quando o raio da região for de 4cm? (A=pir²)

NO AGUARDO!
OBRIGADA

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