[Funções diferenciáveis] em um ponto indicado.

por **Marcos07** » Ter Jul 01, 2014 01:55

no ponto p = (0,0)

Não estou conseguindo identificar se a função é ou não diferenciável.

Se não tiver compreendido a função, existe uma imagem em anexo abaixo.

por **Man Utd** » Qua Jul 02, 2014 22:00

Olá

Usando a mesmo procedimento da questão viewtopic.php?f=120&t=14365

$\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{ f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2} }$

Como é no ponto (0,0)

fica : $\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{ f(h+0,k+0)-f(0,0)-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2} }$

$a=\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{ x \to 0} \; \frac{ f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{ x \to 0} \; \frac{ x}{x}=1$

$b=\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=\lim_{ y \to 0} \; \frac{ f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{ y \to 0} \; \frac{ 0-0}{y}=0$

Segue que :

$\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{ \frac{sen(hk)}{k}-h}{\sqrt{h^2+k^2} }$

$\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{ sen(hk)}{k \sqrt{h^2+k^2} }-\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{h}{\sqrt{h^2+k^2} }$

$\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{ sen(hk)}{k \sqrt{h^2+k^2} }*\frac{h}{h}-\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{h}{\sqrt{h^2+k^2} }$

$\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{ h}{ \sqrt{h^2+k^2} }-\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{h}{\sqrt{h^2+k^2} }=0$

Então a função é diferenciavel em(0,0).