Equações Diferenciais

por **marinalcd** » Sex Ago 09, 2013 15:19

Um amigo me pediu ajuda nessa questão, mas não consegui ajudá-lo, pois Estou com muita dificuldade nesse tipo de questão. Estou me complicando ao tentar resolver questões desse tipo através de equações diferenciais.
Alguém pode me dar uma luz?

"Uma população de bactérias cresce de acordo com o modelo de Malthus. Se a população inicial era de 1.000 bactérias e ao final de uma hora, ela era de 3.000 bactérias, de quanto a população aumentou ao fim de duas horas?"

Obrigada!

por **Man Utd** » Dom Jun 15, 2014 17:40

Olá

A eq. diferencial de Malthus é:

$\frac{dP}{dt}=kP(t)$

em que "k" é uma constante positiva. então vamos separar as variaveis :

$\frac{dP}{P}=k \; dt$

$\int \; \frac{dP}{P}=\int \; k \; dt$

$\ln |P|=kt+C$

$P=Ce^{kt}$

Condição inicial $P(0)=P_{0}$ :

$P(0)=Ce^{k*0}$

$P_{0}=C$

Segue :

$P=P_{0}e^{kt}$

Do exercício temos : $P_{0}=1000$ :

$P=10^3e^{kt}$

e depois de uma hora : P(1)=3000

:

$3.10^3=10^3e^{k}$

$3=e^{k}$

$k=\ln 3$

Então depois de duas horas teremos :

$P(2)=10^3e^{\left( 2\ln3 \right) }$

Calcule.

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