Integrais impróprias

por **cardoed001** » Dom Jun 08, 2014 17:49

Boa tarde,

Alguém, por favor, poderia me explicar porque a integral $\int_{o}^{\infty} cos(\pi*x)dx$ é divergente?

Eu cheguei na resposta:

$\lim_{b\rightarrow\infty} (sin (\pi*b))/\pi$ (com limite superior b e inferior zero, para calcular a integral definida), mas não intendi porque ela diverge.

Muito obrigado.

por **e8group** » Dom Jun 08, 2014 22:15

Justamente por que o último limite está oscilando entre -1 e 1 , e portanto tal limite não nos diz nada . Se tal limite convergisse para algum n°

, então nas diversas formas de

ir para $+\infty$ , estes limites tbm valeriam

.

Por exemplo, tome b = n/2

com

natural .

Note que $sin( \pi b) = \sin(\pi \cdot \frac{n}{2}) = sin(\frac{\pi}{2} \cdot n ) = \begin{cases} 0 ; n= 2,4,6,8,\hdots \\ 1 ; n= 1 ,5,9,13 \hdots \\ -1 ; n = 3,7,11,15 \hdots \end{cases}$ .

Verifique !

Ou seja, quanto n for suficiente grande b também o será e o resultado do limite poderá ser 0,1,-1 dependendo de n .