Avaliar a integral.

por **380625** » Ter Abr 29, 2014 23:26

Boa noite pessoal ja resolvi a seguinte integral:

$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac {dx}{(x^2+a^2)}dx$ .

Como fiz levei ela para o campo complexo e depois usei o teorema dos residuos e deu certinho.

Agora quero resolver a seguinte :
$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac {dx}{(x^2+a^2)^2}dx$

A primeira integral tinha dois polos, agora a segunda tem quatro polos? Dessa forma não sei como usar o teorema dos residuos.
Gostaria de alguma dica ou alguma sugestão.

Primeira solução:

Teremos que:

$\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac {dx}{(x^2+a^2)}dx= 2\pi i \sum residuos (semi-plano \ superior)$

onde os residuos são dados por:

$a_1= \lim_{z \to ia} \dfrac {(z-ia)}{(z-ia) (z+ia)}= \dfrac{1}{2i}$

Dessa forma

$\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac {dx}{(x^2+a^2)}dx= \pi$

Agora não sei como proceder com a integral abaixo:
$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac {dx}{(x^2+a^2)^2}dx$

por **e8group** » Qua Abr 30, 2014 12:29

Uma proposta de solução usando cálculo 1 ...

Primeiro observe que , definindo g(x)

= integrando ,temos que g satisfaz a propriedade $g(x) = g(-x) \forall x \implies g$ é par .Assim , a integral se resume a

$2 \cdot \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(x^2 + a^2)^2} = 2 \cdot \int_0^{+\infty} \frac{dx}{a^4(\left(\dfrac{x}{a} \right)^2 + 1)^2} = \frac{2}{a^4} \boxed{ \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(\left(\dfrac{x}{|a|} \right)^2 + 1)^2} }$ .

Agora vamos calcular a integral destacada .

Introduzimos a mudança de variável x/|a| = u

implica

e os limites de intregração

e $+ \infty$ (qualquer a !=0 ) .

Segue que expressão destacada é equivalente a

$|a| \int_{0}^{+\infty} \frac{du}{(u^2+1)^2}$ .

E ainda podemos escrever $|a| \int_{0}^{+\infty} \frac{du}{(u^2+1)^2} = |a| \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{u^2+1} \cdot \frac{1}{u^2+1} du = |a| \int_{0}^{+\infty} [arctan(u)]' \cdot \frac{1}{u^2+1} du (*)$ .

Onde : Pelo teorema fundamental do cálculo, temos a igualdade : $arctan(u) = \int_0^u \frac{1}{t^2+1}dt$ e [arctan(u)]' = 1/(u^2+1)

Por integração por partes em (*)

temos

$(*) \iff$

$|a| \int_{0}^{+\infty} \left( \left[\frac{arctan(u)}{u^2+1} \right]' + arctan(u) \cdot \frac{2u}{(u^2+1)^2} \right)$ $= |a| \left( \left[\frac{arctan(u)}{u^2+1} \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} arctan(u) \cdot \frac{2u}{(u^2+1)^2} du \right)$ $= |a| \int_0^{+\infty} arctan(u) \cdot \frac{2u}{(u^2+1)^2} du$ .

Esta última integral pode ser facilmente calculada via substituição simples , digamos , l = arctan(u)

.

Após esta substituição e álgebra temos (tente fazer os cálculos )

$|a| \int_0^{+\infty} arctan(u) \cdot \frac{2u}{(u^2+1)^2} du = |a| \int_0^{\pi/2} l \cdot sin(2l) dl = |a| \cdot \frac{\pi}{4}$ .

Logo a expressão destacada vale $|a| \cdot \frac{\pi}{4}$ , e assim

o resultado final será $|a| \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{a^4} = \frac{\pi}{2} \cdot (a^2)^{1/2}(a^2)^{-2} = \frac{\pi}{2} \cdot \left( \frac{1}{a^2}\right )^{3/2}$ .

Parece que utilizando os resultados que você mencionou fica mais simples o cálculo .

por **e8group** » Qui Mai 01, 2014 12:56

Bom dia , hoje pesquisando na internet materiais sobre teorema dos resíduos encontrei isto :

https://repositorio.ufsc.br/bitstream/h ... sequence=1

Lá no capitulo 4 , exemplo 4.3 há uma solução usando tal teorema .

Obs.: Usando técnicas de cálculo 1 há um caminho menos 'trabalhoso' que é a substituição trigonométrica tan(u) |a| = x

(usando módulo pq não sei se a > 0 ou a < 0 )
Segue $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2 + a^2)^2} dx = 2 \int_0^{+\infty} \frac{1}{(x^2 + a^2)^2} dx$ .

Quando $x \to 0 \implies u \to 0$ e $x \to +\infty \implies u \to \pi/2$ , e além disso dx = sec^2(u) |u| du

, logo

$2 \int_0^{+\infty} \frac{1}{(x^2 + a^2)^2} dx = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{sec^2(u) |u| du }{(|a|^2tan^2(u) + a^2 )^2} = \frac{2}{|a|^3} \int_0^{\pi/2} \frac{sec^2u}{(tan^2u +1)^2}du = \frac{2}{|a|^3} \int_0^{\pi/2} \frac{sec^2u}{(sec^2u)^2}du = \frac{2}{|a|^3} \int_0^{\pi/2} cos^2u du = \frac{\pi}{2|a|^3}$ .

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