calcular constante no limite

por **uefs** » Qui Abr 17, 2014 00:23

Preciso saber como cacular a e b dando o limite

limite x tende a 1

a raiz x + 1 - b divide x -1 = raiz de 2 , preciso achar a e b. eu não conseguir escrever nas formulas.

por **e8group** » Qui Abr 17, 2014 23:38

Utilize o site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php , veja a tabela , com o passar do tempo aprenderá os códigos . Muito difícil entender a expressão .

por **uefs** » Sáb Abr 19, 2014 01:28

$\lim_{x\to1} a \frac{\sqrt[]{x+1}}{x-1}- b =\sqrt[]{2}$

por favor preciso resolver esse limete, preciso dos valores de a e b, como achar

por **uefs** » Sáb Abr 19, 2014 01:35

santhiago escreveu:Utilize o site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php , veja a tabela , com o passar do tempo aprenderá os códigos . Muito difícil entender a expressão .

conseguir , por favor tente reponder para mim ajudar

por **e8group** » Sáb Abr 19, 2014 13:21

Vou tentar ajudar .

Considere $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$ , temos

não está definida em x = 1, mas ela está definida em $V_1 \setminus\{1\} := (1- \delta , 1 + \delta) \setminus\{1\} ; \forall \delta > 0$ suficientemente pequeno e esta função não é limitada neste conjunto .

Ora tome $1+ \delta > x > 1$

$f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-1} > \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x-1}} >$ . Por outro lado ,

$1+ \delta > x > 1 \implies 1+ \delta -1 > x -1 > 1 -1 \implies \delta > x-1 > 0 \implies \sqrt{\delta} > \sqrt{x-1} \implies \frac{1}{\sqrt{x-1}} > \frac{1}{\sqrt{\delta}}$ .Desta forma ,

$f(x) > \frac{1}{\sqrt{\delta}}$ sempre que $1+ \delta > x > 1$

Olha que interessante que acabamos de mostrar , dado $\delta > 0$ arbitrário suficientemente pequeno , a função avaliada em

será sempre maior que o número $\frac{1}{\sqrt{\delta}}$ suficientemente grande desde que $x \in (1,1+\delta)$ ..

Exemplo :

Se tomarmos $\delta = 1/(10^{20}) = 0.00000000000000000001$ .

$f(x) > \frac{1}{\sqrt{\delta}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-20}}} = 10^{10} = 10000000000$ sempre que $x \in (1,1+\delta) =(1,10^{-20} +1) =(1,1.00000000000000000001)$

Também podemos , obter uma relação entre M > 0

suficientemente grande e $\delta$ .

Ora, dado M > 0

, imponha que $\frac{1}{\sqrt{\delta}} \geq M$ . Para isto , basta que

$0 < \delta \leq \frac{1}{M^2}$ , e assim $x \in (1,1+\delta) \implies f(x) > M$ .

Não importa o quão grande seja M > 0

,teremos sempre f(x) > M

, para isto basta que $x \in (1,1+\delta)$ .

Toda o raciocínio acima nos diz que $\lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty$ .

E também sabemos que $\lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$ .

Agora defina g(x) = a f(x) - b

. Se $a \neq 0$ ,

não é limitada em $V_1\setminus\{1\}$ .

Exemplo :

Defina $x_n = 1 + 10^{-n} , n =1,2,3...$ .

Agora avaliamos a função em x_n

,

$g(x_n) = a f(x_n) -b = a \cdot \frac{\sqrt{2 +10^{-n}}}{10^{-n}} -b \approx a \sqrt{2} 10^n -b$ .

Dependendo do sinal de a , a aproximação será com excesso , ou falta .

Isto não prova nada , mas nos dá uma ideia intuitiva do comportamento de

na vizinhança de

.

Acho que já dá p/ perceber que é a e b .

por **uefs** » Sáb Abr 19, 2014 15:40

Não entendir, pois na questão ele pede os valores de a e b, a resposta é a=4 e b= 4 $\sqrt[]{2}$

por **e8group** » Sáb Abr 19, 2014 17:03

Negativo . Resposta errada .

Se quiser conferir computacionalmente http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... s+x+to+1++ .

Agora matematicamente , vou mostra que se $a \neq 0$ então $\lim_{x\to 1^+} |af(x) -b | = +\infty$ .

Já mostramos que $\lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty$ . Lembra ?

$\forall M > 0 , \exists \delta = \delta(M) > 0 : x \in (1,1+\delta) \implies f(x) > M$ .

Pois bem , agora vamos mostra que $\lim_{x\to 1} |af(x) -b | = +\infty$ .

Podemos escolher M > 0

(certo ??) tal que |a| M - |b| > 0

. Pondo

temos

$|af(x) -b| \geq |a| |f(x)| - |b|$ (desigualdade triangular) .

Além disso , se f(x) > M > 0

para $x \in (1,1+\delta) , 0 < \delta \leq 1/M^2$ então também vale |f(x)| > |M| = M

.Assim , obtemos

$|af(x) -b| \geq |a| |f(x)| - |b| > |a||M| - |b| = M'$ .

O que prova que $\lim_{x \to 1^+} |af(x) -b| | = +\infty$ .

Ora se $\lim_{x \to 1^+} |af(x) -b| = +\infty$ logo $\lim_{x \to 1} (af(x) -b) \notin \mathbb{R}$ .

Portanto devemos ter a = 0 .

P.S. Não estou 100% certo que eu disse acima faz sentido ...

por **Russman** » Sáb Abr 19, 2014 19:48

Resolver para a=0

e $b =- \sqrt{2}$ é sacanagem! hahaha
Mas, de fato, é uma solução trivial e, concordando com o santhiago, a única.

A questão é estranha. O resultado de $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$ depende se tendemos

a

pela direita o esquerda. Começando mal por aí. Calculando os limites laterias obtemos $\pm \frac{1}{0}$ que não é uma indeterminação. A única forma de ser, seria tendo algo( no caso o real

) multiplicando o numerador para resultar em $\frac{0}{0}$ .

por **e8group** » Sáb Abr 19, 2014 21:24

Mais uma pessoa em concordância ... Isto é bom .

uefs faz o favor de conferir se digitou corretamente a expressão . Como vc não está familiarizado com o LaTeX bem provável erros .

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