Duvida Integral Indefinida

por **cardoed001** » Sáb Fev 22, 2014 16:55

Boa tarde a todos,

Alguém poderia me ajudar a resolver a seguinte integral:

$\int_{}^{} 1/(1+sen x) dx$

O exercicio pede para multiplicar por uma expressão apropriada o numerador e o denominador e eu não consegui descobrir uma que ajudasse a resolver...

Desde ja grato pela ajuda.

por **Man Utd** » Sáb Fev 22, 2014 18:42

Olá

Tbm não conseguir encontrar essa expressão para ajudar na integração, mas resolvi usando o msm método deste Tópico.

Então sabendo que : $senx=\frac{2tg \left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^{2} \left(\frac{x}{2} \right)}$ , então substituia na integral:

$\int \; \frac{1}{1+\frac{2tg \left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^{2} \left(\frac{x}{2} \right)}} \; dx$

$\int \; \frac{1}{\frac{1+tg^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+2tg \left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^{2} \left(\frac{x}{2} \right)}} \; dx$

$\int \; \frac{1+tg^{2} \left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+2tg \left(\frac{x}{2} \right)} \; dx$

$u=tg^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \;\; \rightarrow \;\; du=\frac{1}{2}*sec^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \; dx \;\; \Leftrightarrow \;\; du=\frac{1}{2}* \left(1+tg^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \right) \; dx$

ficando com:

$2*\int \; \frac{1}{u^2+2u+1}\; du$

é só concluir usando frações parciais...

por **cardoed001** » Sáb Fev 22, 2014 23:09

Muito obrigado mesmo...

Quebrou um galhão...

por **young_jedi** » Dom Fev 23, 2014 11:15

Olá amigos, uma outro maneira que pensei foi multiplicar e dividir a expressão por 1-sen(x)

$\int\frac{1}{1+sen(x)}dx$

$\int\frac{1}{1+sen(x)}.\frac{1-sen(x)}{1-sen(x)}dx$

$\int\frac{1-sen(x)}{1-sen^2(x)}dx$

$\int\frac{1-sen(x)}{cos^2(x)}dx$

$\int\frac{1}{cos^2(x)}dx-\int\frac{sen(x)}{cos^2(x)}dx$

$=tg(x)-\frac{1}{cos(x)}$

valeu ai galera até mais.