Derivada implicita, provar resultado

por **rodrigo lara** » Sáb Jan 04, 2014 17:53

Um ponto P move-se ao longo da elipse x² + 4y² = 1 . A abscissa x está variando a uma velocidade dx/dt = sen(4t). Mostre que;

A) dy/dt = - x.sen(4t) / 4y

B) d²y/dt² = sen²(4t) + 16xy²cos(4t) / 16y³

por **e8group** » Dom Jan 05, 2014 16:21

O que você tentou ?

No item (a) basta derivar ambos lados da eq. elipse com respeito a

.(Atenção a regra da cadeia) . Em seguida isole y' (t)

.No item(b) é suficiente derivar a expressão correspondente a y'(t)

para provar este item .

por **rodrigo lara** » Ter Jan 07, 2014 21:21

Sim. Fiz a derivada implicita em relação a t, somente o item A esta dando certo, ja o item B não esta batendo o resultado, poderia fazer pra mim compreender onde estou errando?

por **e8group** » Ter Jan 07, 2014 22:49

OK. Aceitando que (a) é verdadeiro ,sua derivada(com respeito a t) nos dá

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{-x \cdot sin(4t)}{4y} \right) = \frac{ 4y \dfrac{d}{dt} \left(-xsin(4t) \right) + x sin(4t) \cdot \dfrac{d}{dt} 4y }{16y^2} (*)$ (regra do quociente) . Usando que $\frac{dx}{dt} = sin(4t)$ e o item (a) ,temos :

$\frac{d}{dt} x \cdot sin(4t) = \frac{dx}{dt} \cdot sin(4t) + 4 x \cdot cos(4t) = sin^2(4t) + 4x cos(4t)$ e daí

$4y \dfrac{d}{dt} \left(-xsin(4t) \right) + x sin(4t) \cdot \dfrac{d}{dt} 4y = -4y( sin^2(4t) + 4x cos(4t)) + 4 xsin(4t) \frac{-x \cdot sin(4t)}{4y} = \frac{-4y^2(sin^2(4t) + 4xcos(4t) ) -x^2 sin^2(4t)}{y} =\frac{-sin^2(4t)[x^2 + 4y^2] -16y^2 xcos(4t)}{y} = - \boxed{\frac{sin^2(4t) + 16y^2xcos(4t)}{y}}$ .Quando substituirmos a expressão destacada em (*)