[Integral Tripla (Resolvida)] Volume de Sólido

por **raimundoocjr** » Seg Dez 16, 2013 23:33

Fiz esse exercício, mas não tenho o gabarito, então gostaria de confirmar minha resolução com outros membros.

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 20 - Pág.: 920)
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelos paraboloides y=x²+z² e y=8-x²-z²

Resolução:
Calcular o volume do sólido limitado pelos paraboloides dados, é o mesmo, em termos numéricos, que calcular o volume limitado pelos seguintes paraboloides: z=x²+y² e z=8-x²-y². O valor correspondente às unidades de volume é exatamente igual. Além disso, a forma como é apresentada as equações lembra as coordenadas cilíndricas, então será feito essa substituição. Antes, é importante determinar o conjunto ao qual será feita a integração. A ideia partirá de encontrar a interseção entre as superfícies:

Se z=z, então x²+y²=8-x²-y². Implica que 2x²+2y²=8, e portanto x²+y²=2². Esta última equação representa a circunferência de centro na origem e raio valendo 2 unidades.

Porém, em termos de domínio da função, tem-se que considerar o seguinte círculo:
$0\leq x^2+y^2\leq 2^2$

Mudança de Variável na Integral Tripla:
$\iiint_E f(x, y, z) dxdydz=\iiint_{E_{uvw}} f(\phi(u, v, w))\begin{vmatrix}\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\end{vmatrix}dudvdw$

Onde: $\begin{vmatrix}\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\end{vmatrix}$ é o módulo do determinante jacobiano.

Para o caso em específico feito por coordenadas cilíndricas:
$\iiint_E dxdydz=\iiint_{E_{\theta\rho z}} \rho d\theta d\rho dz$

Imagine que o ângulo $\theta$ formado com o eixo das abscissas irá percorrer todos os ângulos para gerar o sólido que estamos calculando o volume, então $0\leq \theta \leq 2\pi$ . Para o caso de $\rho$ : $0\leq \theta \leq 2$ . A "componente z" irá de uma superfície a outra, ou seja, de z=x^2+y^2

até

. Mas, em coordenadas cilíndricas: $z=\rho^2$ até $z=8-\rho^2$ .

Coordenadas Cilíndricas:
$\left\{\begin{matrix}x=\rho cos\theta\\ y=\rho sen\theta\\ z=z\end{matrix}\right.$

Integral Tripla:
$\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_{\rho^2}^{8-\rho^2}\rho dz d\theta d\rho=16\pi$ unidades de volume

Passo-a-passo:
a) $\int_{\rho^2}^{8-\rho^2}\rho dz=\rho\int_{\rho^2}^{8-\rho^2} dz=\rho[(8-\rho^2)-(\rho^2)]=\rho(8-2\rho^2)=-2\rho^3+8\rho$
b) $\int_0^{2\pi}(-2\rho^3+8\rho)d\theta=-2\rho^3+8\rho(2\pi-0)=-4\pi\rho^3+16\pi\rho$
c) $\int_0^2(-4\pi\rho^3+16\pi\rho)d\rho=4\pi[-\frac{\rho^4}{4}+2\rho^2]_0^2=16\pi$