Integral - Áreas

por **Danilo** » Sex Nov 15, 2013 19:03

Encontrar a área da região delimitada pelas curvas dadas.

São elas: x=y²-2, y =1, x= ${e}^{y}$ , y =-1.

Eu geralmente consigo calcular, mas neste caso o fato de x estar em função de y, y estar em função de x e de ter 4 gráficos confunde e MUITO a minha cabeça. Eu preciso muito entender isso... Grato!

por **LuizAquino** » Qua Nov 20, 2013 08:40

Danilo escreveu:Encontrar a área da região delimitada pelas curvas dadas.

São elas: x=y²-2, y =1, x= ${e}^{y}$ , y =-1.

Eu geralmente consigo calcular, mas neste caso o fato de x estar em função de y, y estar em função de x e de ter 4 gráficos confunde e MUITO a minha cabeça. Eu preciso muito entender isso... Grato!

Não tem mistério. Se você sabe fazer quando temos y = f(x), então é só usar as mesmas ideias para fazer x = f(y).

Vamos começar com a curva:

x = y^2 - 2

Por um momento, imagine que a curva fosse na verdade o contrário:

y = x^2 - 2

O que essa curva representa? Ora, provavelmente você já percebeu que é uma parábola! As características básicas dessa parábola estão abaixo.

(1) Ela corta o eixo x nos pontos:
$\left(-\sqrt{2};\,0\right)\textrm{ e } \left(\sqrt{2};\,0\right)$

(2) Ela corta o eixo y no ponto:
(0; -2)

Agora vamos voltar a curva original. O que ela representa? Ora, uma parábola também! Só que dessa vez suas caraterísticas básicas são as seguintes.

(1) Ela corta o eixo x no ponto:
(-2; 0)

(2) Ela corta o eixo y nos pontos:
$\left(0;\,-\sqrt{2}\right)\textrm{ e } \left(0;\,\sqrt{2}\right)$

Vamos agora comparar os gráficos dessas curvas.

: figura1.png (12.06 KiB) Exibido 3233 vezes

Continuando a resolução do exercício, vamos analisar a curva
x = e^y

Novamente, por um momento, imagine que a curva fosse:
y = e^x

O que ela representa? Você já deve saber que ela representa o gráfico de uma função exponencial. Suas características básicas estão abaixo.

(1) Ela não corta o eixo x (mas fica cada vez mais próximo dele).
(2) Ela corta o eixo y no ponto (0; 1).

Voltando para a curva original, você deve concluir que suas características básicas serão as seguintes.

(1) Ela corta o eixo x no ponto (1; 0).
(2) Ela não corta o eixo y (mas fica cada vez mais próximo dele).

Vamos agora comparar os gráficos dessas curvas.

: figura2.png (5.05 KiB) Exibido 3233 vezes

Falta agora analisar as curvas y = 1 e y = -1. No primeiro caso, temos uma curva formada por todos os pontos do plano que possuem a mesma coordenada y (sendo específico, igual a 1). O que ela representa? Ora, uma reta paralela ao eixo x e cortando o eixo y em (0, 1). Usando uma análise semelhante, você deve concluir que no segundo caso temos uma reta paralela ao eixo x e cortando o eixo y em (0, -1). Vejamos os gráficos dessas curvas.

: figura3.png (1.7 KiB) Exibido 3233 vezes

Agora que já conhecemos os gráficos das curvas dadas no exercício, vamos representá-los juntos (e destacar a região delimitada por eles).

: figura4.png (7.55 KiB) Exibido 3233 vezes

Enxergando x como função de y, note que a região delimitada terá área dada por:

$A = \left|\int_{-1}^{1} y^2 - 2 \,dy\right| + \int_{-1}^{1} e^y \,dy$

Agora basta resolver as integrais para concluir o exercício. Continue a partir daí.