Limites e Derivadas

por **jeff_95** » Sáb Nov 16, 2013 19:22

Exercício do Stewart

Seja a, b, c, e d constantes tais que

$\lim_{\Delta x\to0}\frac{a{x}^{2}+sen{(bx)}+sen{(cx)}+sen{(dx)}}{3{x}^{2}+5{x}^{4}+7{x}^{6}} = 8$

encontre o valor da soma a+b+c+d

resposta = 24

por **e8group** » Sáb Nov 16, 2013 21:19

Uma possível solução (não necessariamente está correta ).

Se b = c = d = 0

, o limite dado se resume a $\lim_{x\to 0 } \frac{a}{3 + 5x^2 + 7x^4} = a/3 = 8 \implies a+b+c+d = 24$ . Agora suponha $b, c, d \neq 0$ .Neste caso ,

Podemos reescrever o limite a ser calculado sob a forma

$\lim_{x\to 0 } \left( \frac{ax+ b \dfrac{sin(bx)}{bx} + c \dfrac{sin(cx)}{cx} + d \dfrac{sin(dx)}{dx}} {3x + 5x^3 + 7x^5} \right ) (*)$ .

Pelo que
$lim_{x\to 0 } ax+ b \dfrac{sin(bx)}{bx} + c \dfrac{sin(cx)}{cx} + d \dfrac{sin(dx)}{dx} = b+c+d$ existe e é finito e $\lim_{x\to 0 } 3x + 5x^3 + 7x^5 = 0$ , concluímos que o limite (*)

não é finito, contradição ! Portanto , b=c=d=0

e

.

por **jeff_95** » Dom Nov 17, 2013 00:56

Valeu cara

Esse stewart tem uns exercicios de foder

por **e8group** » Dom Nov 17, 2013 12:05

De nada . Mas a resolução está incompleta, apesar do limite da expressão do numerador de (*)

existir e ser finito , a saber o limite desta expressão quando

tende a zero é o número real b+c+d

que pode ser nulo mesmo considerando $b,c,d \neq 0$ , e caso b+c+d = 0

não podemos dizer nada sobre o limite (*)

tendo em conta que o mesmo apresentar forma indeterminada "0/0" , portanto devemos também supor $b+c+d \neq 0$ bem como $b,c,d \neq 0$ e chegar em absurdo ,conforme já vimos.

OBS_1 .:

Não tenho 100% certeza se podemos afirmar que $\lim_{x\to a} p(x)/q(x) = \pm \infty$ se ocorrem as duas situações :
$\lim_{x\to a } p(x)$ existe e é um número finito não nulo , digamos

, e $\lim_{x\to a } q(x) = 0$
. Vou pensar sobre isto .

OBS_2 :

O limite a ser calculado apresenta forma indeterminada "0/0" , talvez seria adequado utilizar a regra de L'hospital .

por **jeff_95** » Dom Nov 17, 2013 18:52

Pois é, se admitirmos que

não é nulo e aplicarmos a regra de L´Hospital 2x sobra

como constante no numerador e

no denominador, e para o limite resultar em

, a unica hipótese que se encaixa no problema é a de que b, c

e

são nulos. Se as variáveis nos senos estivessem elevadas ao quadrado, daí sim poderíamos considerar b, c

e

não nulos.

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