Limite (1 variável)

por **RenanDias** » Sáb Out 26, 2013 22:49

Olá amigos, queria que algum de vocês me ajudasse neste limite que não consigo sair da indeterminação:

$\lim_{x->0} \frac{{2}^{x}-1}{x}$

O que eu tentei fazer
Tentei aplicar uma nova variavel a equação de cima e resolver em x, tipo:

${2}^{x}-1 = u$
${2}^{x}=u+1$
$log {2}^{x}=log (u+1)$
x.log2=log(u+1)

Pensei em mudar a base pra 2:

E ficar com: x = log de (u+1) na base 2 [não consegui fazer a base menor no editor]

E substituindo na equação de limite original eu continuo na mesma... alguém pode me dar um caminho?

por **Man Utd** » Dom Out 27, 2013 00:46

olá

continuando de onde parou com uma observação vou usar ln (logaritmo natural): $\\\\\\ x=\frac{ln(u+1)}{ln2}$

então o limite fica:

$\\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{u}{\frac{ln(u+1)}{ln2}} \\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{ln2*u}{ln(u+1)} \\\\\\ ln2*\lim_{u\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{ln(u+1)}{u}} \\\\\\ ln2*\lim_{u\rightarrow 0}\frac{1}{ln(u+1)^{\frac{1}{u}}} \\\\\\ ln2*(\frac{1}{\lim_{u\rightarrow 0}ln(u+1)^{\frac{1}{u}}})$

perceba que $\lim_{u\rightarrow 0}ln(u+1)^{\frac{1}{u}}=e$

daí:

$\\\\\\ ln2*\frac{1}{ln e}=ln2$