Resolução de um limite.

por **Sobreira** » Qua Out 02, 2013 11:32

Amigos,

Fiz uma prova de cálculo 3 e havia uma sequência e o exercício pedia para determinar o limite da seguinte sequência:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1-n}{{n}^{2}} \right)$

Então resolvi por maior grau:

$\left(\frac{\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{n}{{n}^{2}}}{\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}}} \right)$

Logo:

$\frac{0}{1}=0$

Mas o professor me descontou metade da questão pois informou que a resposta estava correta mas o método de resolução errado :!:

Que erro há nesta resolução ???

por **Leticia_alves** » Qua Out 02, 2013 16:01

Bom, temos o seguinte limite: $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1-n}{{n}^{2}} \right)$ .

Por ser uma indeterminação, utilizamos a Regra de L'Hospital, assim:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1-n}{{n}^{2}} \right)$ = $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\frac{d(1-n)}{dn}}{\frac{d{n}^{2}}{dn}} \right)$
= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-\frac{1}{2n} \right)$
= = $-\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n} \right)$

O limite do quociente é o quociente dos limites:
Como o limite de constante é constante:

$-\frac {1}{2(\lim_{n\rightarrow\infty}\left n)}$

E, como o limite de n quando n tende ao infinito é infinito, segue que:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1-n}{{n}^{2}} \right)$ = 0.

Não sei se é isso que o seu professor queria, mas só consigo enxergar esse método de resolução.
Espero ter ajudado!
Abraços

por **Sobreira** » Qua Out 02, 2013 17:30

Então. Entendo que L´Hospital seria uma técnica a mais para resolver limites que não são facilmente resolvidos por fatoração, por exemplo. Posso utilizar perfeitamente L´Hospital, mas entendo que este limite seria também tranquilamente resolvido por alguma técnica mais simples (como dividir uma equação racional pelo maior grau de x, neste caso).
Então, utilizando esta técnica (imagino que efetuei o cálculo de forma correta) chego ao desenvolvimento do limite. Isto que gostaria de saber, se meu cálculo através desta técnica estaria correta ou não.

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