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Como separar equação diferencial ordinária.

Como separar equação diferencial ordinária.

Mensagempor Sobreira » Qui Set 26, 2013 09:06

Tenho dificuldade em reconhecer quando uma E.D.O é separável ou não. Sei que ela deve se apresentar desta forma:

\frac{dy}{dx}=h\left(x \right)g\left(y \right)

Mas não tenho total certeza sobre como tentar separar uma E.D.O corretamente.
Por exemplo, as equações a seguir eu resolvi por fator integrante mas acho que consigo separar. Consigo ou não ??

{x}^{2}\frac{dy}{dx}+x\left(x+2 \right)y={e}^{x}

L\frac{di}{dt}+Ri=E

Onde L, R, E são constantes.

Já nesta equação qual a diferença, em relação a separação, das formas abaixo:

x\frac{dy}{dx}-Ln xy=0

x\frac{dy}{dx}-Ln (xy)=0
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Re: Como separar equação diferencial ordinária.

Mensagempor young_jedi » Qui Set 26, 2013 14:19

esta primeira não da para separar

x^2\frac{dy}{dx}+x(x+2)y=e^x

\frac{dy}{dx}=\frac{e^x-x(x+2)y}{x^2}

veja que não da para separar em uma função de y vezes uma função de x

a segunda da para separar

L\frac{di}{dt}+R.i=E

\frac{di}{dt}=\frac{E-R.i}{L}

onde h(t)=1 e g(i)=E-Ri

a terceira equação imagino que seja

x\frac{dy}{dx}-ln(x).y=0

\frac{dy}{dx}=\frac{ln(x)}{x}.y

então h(x)=\frac{ln(x)}{x} e g(y)=y

ja esta ultima tambem não da para seprar

x\frac{dy}{dx}-ln(xy)=0

x\frac{dy}{dx}-ln(x)-ln(y)=0

\frac{dy}{dx}=\frac{ln(x)+ln(y)}{x}
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Re: Como separar equação diferencial ordinária.

Mensagempor Sobreira » Sáb Set 28, 2013 09:25

young_jedi escreveu:esta primeira não da para separar

x^2\frac{dy}{dx}+x(x+2)y=e^x

\frac{dy}{dx}=\frac{e^x-x(x+2)y}{x^2}

veja que não da para separar em uma função de y vezes uma função de x


Então...aí que está.
Eu não consigo entender como é possível verificar se as funções irão se apresentar como produto ou não.
Pelo que eu entendi não pode haver soma entre x e y ???

Neste termo eles estão digamos amarrados??? mas e se eu expandir não vou ter a separação???

-x(x+2)y

Por exemplo:

{x}^{2}y-2xy

E daí eu poderia separar ???
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Re: Como separar equação diferencial ordinária.

Mensagempor young_jedi » Sáb Set 28, 2013 11:44

este termo você consegue seperar

x(x+2)y

o problema é que também temos uma exponencial de x

e^x-x(x+2)y

por isso você não consegue separar

realmente você não pode ter uma soma entre x e y por exemplo

\frac{dy}{dx}=x+y

essa função você também não consegue separar
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Re: Como separar equação diferencial ordinária.

Mensagempor Sobreira » Sáb Set 28, 2013 12:46

Este meu desenvolvimento estaria correto ???

{x}^{2}\frac{dy}{dx}+{x}^{2}y+2xy={e}^{x}

\frac{dy}{dx}=\frac{{e}^{x}-{x}^{2}y-2xy}{{x}^{2}}

\frac{dy}{dx}=\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}-\frac{{x}^{2}y}{{x}^{2}}-\frac{2xy}{{x}^{2}}

\frac{dy}{dx}=\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}-\frac{y}{{x}^{2}}-\frac{2y}{x}

A partir dái, sinceramente já não consigo mais separar.
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Re: Como separar equação diferencial ordinária.

Mensagempor young_jedi » Sáb Set 28, 2013 18:13

esta certo a partir dai não da para separar mais!!!
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.