Necessito de ajuda em Equações Diferenciais

por **cubodegelo** » Sáb Mar 29, 2008 19:18

Oi para todos,

Sou novo no fórum, mas gostei muito de como vocês
tratam as pessoas, e respondem as dúvidas, então decidi
postar aqui para ver se podem me ajudar:

É o seguinte, dentre vários exercicios que eu tenho que fazer teve 2 em
especial que eu não consegui resolver:

1-Dar a família de curvas em que todas as tangentes passam pela origem.

-> Eu pensei o seguinte: As equações dessas retas (tang.) devem ser do tipo y=K*x (retas que passam pela origem)-(sendo K uma const.)
Eu sei que a derivada de uma curva fornece a inclinação da tangente num ponto, logo eu sei que se eu integrar essa inclinação eu
acho a curva cujas tangentes passam pela origem. Mas quando eu integro K, fico com uma curva do tipo y=K*x + C. Se esse C for
diferente de zero as tangentes dessa curva não irão passar na origem. Porque esse C aparece? Ele TEM que ser zero não?

2-Dar a família de curvas em que todas as normais passam pela origem.

-> Eu pensei a mesma coisa que o de cima, mas sei que a inclinação da reta normal é o inverso com sinal trocado da inclinação
da tangente. Logo: Eq da normal: y=K*x + C , teria de integrar -1/K para achar a curva em que todas as normais passam pela origem,
mas ai eu acho uma curva assim: y= -x/K +C, isso são retas, e nem todas as normais das retas passam pela origem. Eu pensei e acho que
a fa,ília de curvas em que todas as normais passam pela origem são circunferências de raio variável R, mas centradas na origem. O que
estou fazendo de errado?

Outra coisa que eu sei são as equações da tangente, subtangente, normal, subnormal( =Y*dy/dx ), mas me corrijam se eu
estou enganado, essas são as equações do comprimento dessas curvas não? Então eu não tenho que usa-las, ou tenho?

Eu já fiz o download de um livro de 600 e poucas páginas que está aqui no site, mas não me ajudou muito com esse assunto,
também não sei transformada de Laplace, nem séries, mas sei resolver eq. diferencias ordinárias de segunda ordem incompletas.

De mais, me desculpem se fiz algo de errado, é que é meu primeiro post.

Obrigado pela paciência!

por **admin** » Dom Mar 30, 2008 00:35

Olá, seja bem-vindo!

Talvez eu não seja a pessoa mais adequada para tentar ajudá-lo, mas ainda não temos um professor de cálculo aqui na Ajuda Matemática.

Então, apesar de licenciado, nestes assuntos eu sempre me posiciono como aluno, pois minha formação tem foco em conteúdos do ensino fundamental e médio, embora eu seja um apreciador do cálculo.

Meus comentários preliminares são os seguintes:

No o exercício 1, sobre a dúvida da constante de integração, como você mesmo escreveu, a derivada de uma curva fornece a inclinação da tangente num ponto.

Mas, esta outra afirmação não é verdadeira:

logo eu sei que se eu integrar essa inclinação eu acho a curva cujas tangentes passam pela origem.

Melhor seria:

...cujas tangentes possuem a mesma inclinação!

De fato, se C for diferente de zero, as tangentes não passarão pela origem, mas serão paralelas à correspondente que passa pela origem quando C=0.

Neste caso, a constante de integração determina a família de curvas com a mesma inclinação.

Concordo com você que C tem que ser zero para que a tangente passe pela origem.

E apenas para registrar aqui, vamos explicitar que estamos falando de retas e suas tangentes são as próprias retas.

No exercício 2, acho que não cabe diretamente o mesmo pensamento anterior.
Tanto que se começarmos imaginando retas, não há uma em que todas as normais passem por um mesmo ponto.
Falando em reta tangente à reta, há apenas uma, a própria reta.
Mas, falando em retas normais à reta, há infinitas!
Por isso que você concluiu que nem todas passam pela origem.
Melhor dizendo, apenas uma passará, quando C=0.

Acho que sua idéia está correta sobre as circunferências centradas na origem, pois de fato todas as normais passarão pelo ponto (0,0).

Mas, cuidado durante os cálculos pois a circunferência toda não representa uma função.

A curva que você citou é esta: x^2+y^2 = R^2

Uma função pode ser esta: $y = \sqrt{-x^2+R^2}$

Não entendi o que você quis dizer com "equação da" tangente, subtangente, normal e subnormal.
Subtangente e subnormal são projeções ortogonais relacionadas à tangente e à normal, respectivamente, certo?

Não sei se meus comentários foram úteis, pois desconheço a exigência formal esperada para suas resoluções.
De qualquer forma, qualquer outra ajuda será bem-vinda!
Obrigado por participar conosco!

por **cubodegelo** » Dom Mar 30, 2008 20:31

Cara,

Muito obrigado pela ajuda mesmo, apesar de não ter conseguido
ainda resolver o exercicio você me deu uma boa clareada sobre os
modos de pensar.

Sobre essas equações que eu citei eu acho que é bobera, elas são
deduzidas quando você desenha uma curva qualquer e num ponto não
específico você traça a tangente, normal, e as projeções (subtangente
e subnormal) e por Pitágoras e semelhança você acaba achando essas equções,
mas, como eu disse, eu acho que não tem nada a ver.

Mas de resto, você ajudou mesmo cara, obrigado.