Função Gama.

por **380625** » Sáb Jun 01, 2013 16:57

Boa tarde preciso mostrar que

$\int_{0}^{\infty} e^{-x4}dx = \Gamma(\dfrac{5}{4})$ , onde $\Gamma(\dfrac{5}{4})$ se trata da função Gama.

O que fiz usei a série de Maclaurin do lado esquerdo e desenvolvi alguns termos e encontrei o termo geral.

Depois integrei a série termo a termo porém não consigo achar uma relação com a função gama.

Espero que alguem possa me dar uma ajuda por ai.

Flávio Santana.

por **e8group** » Dom Jun 02, 2013 20:04

Não se está correto ,mas pensei assim :

Aceitando que $(*) \Gamma(\beta) = \int_{0}^{\infty} t^{\beta -1} e^{-t}dt$ ,temos :

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^4}dx = \Gamma(5/4)$ .Pois ,fazendo a substiuição t = x^4

,obtemos $4^{-1} t^{-3/4}dt = dx$ .Assim ,

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^4}dx = 4^{-1} \int_{0}^{\infty} t^{-3/4}e^{-t}dt$ .Utilizando o método de integração por partes ,resulta

$\int_{0}^{\infty} t^{-3/4}e^{-4t}dt = 4^{-1} f(t)g(t)\big|_{0}^{\infty} - 4^{-1} \int_{0}^{\infty} f'(t)g(t) dt$ em que :

$f(t) = e^{-t},f'(t)=-e^{-t}, g'(t) = t^{-3/4} , g(t) = 4 t^{1/4}$ .

Daí ,

$4^{-1} \int_{0}^{\infty} f'(t)g(t) dt = 4^{-1} \int_{0}^{\infty} -4 t^{1/4}e^{-t}dt = -\int_{0}^{\infty} t^{1/4}e^{-t}dt = -\int_{0}^{\infty} t^{5/4 - 1}e^{-t}dt \overset{(*)}{=} -\Gamma(5/4)$ .

Lembrando que $\int_{0}^{\infty} t^{-3/4}e^{-4t}dt = 4^{-1} f(t)g(t)\big|_{0}^{\infty} - 4^{-1} \int_{0}^{\infty} f'(t)g(t) dt$ e mostrando que $4^{-1} f(t)g(t)\big|_{0}^{\infty} = 0$ (deixo como exercício p/ vc) segue o resultado .

Função Gama.

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