Cilindro circular reto inscrito num cone reto

[netochaves]

Uma caixa d’agua no formato de um cilindro circular reto de raio r e altura h será construída em cima de um prédio onde o teto tem formato de um cone de revolução com raio R e altura H, conforme a figura abaixo.

A figura é um cilindro circular reto inscrito num cone reto. Onde o r e o h são o raio e a altura do cilindro e o R e H o raio e altura do cone.
Colocando valores como exemplo para a formula : R vale 5 m, e H vale 12 m.

encontrar as dimensões de r (em função de R e H) que maximiza a área total da superfície da caixa d’ água (inclusive a base inferior).

Questões:
Tem como solucionar a situação sem a aplicação das derivadas?

Qual as dimensões de r (em função de R e H) que maximiza a área total da superfície da caixa d’ água (inclusive a base inferior)?

Qual a solução gráfica para a questao?

[young_jedi]

utilizando semelhanças de triangulos temos que





então agora vamos calcular a area superficial do cilindro

a area lateral sera








a area da base superior e inferior sera



sendo assim a area total sera





esta é a função de uma parabola com a concavidade voltada para baixo portanto seu valor maximo esta no vertice da parabola, tente proseguir apartir daqui

[Russman]

Amigo young_jedi, acredito que você tenha se confundido na obtenção da área lateral como função de . Você esqueceu de levar o com a fração.

[young_jedi]

é verdade, foi erro de digitação tem um \pi multiplicadno




portanto a area total é



valeu ai Russman

[netochaves]

Mas gostaria de saber como ficaria a resolução sem adotar valores para R e H, como ficaria as equações ?

[young_jedi]

é so colocar as constante R e H no lugar dos numeros
utilizando semelhanças de triangulos temos que





então agora vamos calcular a area superficial do cilindro

a area lateral sera








a area da base superior e inferior sera



sendo assim a area total sera





esta é a função de uma parabola com a concavidade voltada para baixo portanto seu valor maximo esta no vertice da parabola, tente proseguir apartir daqui

[netochaves]

Muito obrigado, agora gostaria de saber como ficaria usando a derivada da função, e o gráfico ficará mesmo uma parábola voltada para baixo né?

[young_jedi]

utilizando a derivada
é so pegar essa expressão da area e derivar com relação a r e igular a 0

o grafico é sim uma parabola, mais o fato dela ser para cima ou para baixo, vai depender dos valores de R e H

[netochaves]

Mas a questao nao esta pedindo pra colocar r (em funcao de R e H) ?
ou seja essa equacao h= H-H.r/R nao teria que isolar o r, em vez de h?

[young_jedi]

o exercicio pede para encontrar o valor de que maximize o valor da area sendo este calculado em função de H e R

como voce tem a função da area A em função do raio r sendo esta uma parabola, voce tem que o valor maximo de area sera no vertice da parabola então temos que



então o r no vertice da parabola sera

[netochaves]

ah tah, é o X d vertice né? Xv= -b/2a

é essa mesma a resposta, agora gostaria de saber as situacoes quando :
se H<2R, se H=2R e H>2R , só falta isso para terminar