Maximo de uma derivada

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Maximo de uma derivada

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Maximo de uma derivada

Mensagempor Silva339 » Qua Abr 17, 2013 17:31

Seja f(x,y) = x^2e^y Determine o valor Maximo de uma derivada direcional no ponto (-2,0) e determine o vetor unitário na direção e sentido do qual o valor Maximo ocorre.

Obrigodo que poder ajudar.
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Re: Maximo de uma derivada

Mensagempor young_jedi » Qua Abr 17, 2013 21:04

a maior derivada direcional ocorre na direção do vetor gradiente

\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\^{i}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\^{j}

tente proseguir
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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