Relação entre funções com derivadas iguais

por **matmatco** » Sex Abr 12, 2013 23:00

Tentei substituir na soma esses dados mas é errado eu fazer isso, não estou sabendo como resolver

Sejam f(t),g(t) h(t) funções deriváveis em R e tais que para todo t,

f '(t)=g(t)
g'(t)= -f(t) - h(t)
h'(t)=g(t)
suponha que f(0)=g(0)=h(0)=1. prove que para todo t, [f(t)]²+[g(t)]²+h[(t)]²=3

por **young_jedi** » Sáb Abr 13, 2013 15:17

derivando a segunda equação nos temos

g''(t)=-f'(t)-h'(t)

substittuindo as outras duas equações nos temos

g''(t)=-g(t)-g(t)

este é uma equação diferencial de segunda ordem resolvendo ela se encontra g(t) e depois h(t) e f(t)
comente qualquer coisa

por **matmatco** » Sáb Abr 13, 2013 16:06

ok, mas para encontrar o g(t) vou ter que jogar valores para g(t)? é isso? e depois derivar para encontrar o g"(t)?

por **young_jedi** » Sáb Abr 13, 2013 16:32

esta equação diferencial de segunda ordem tem como resposta algo do tipo

g(t)=A.sen(wt)+B.cos(wt)

ao substituindo isto na equação diferencial, voce vai determinar o valor de w, e depois com g(0)=1 voce determina os valores de A e B e as funções h(t) e f(t)

por **matmatco** » Sáb Abr 13, 2013 22:51

estou com dificuldade em colocar os calculos então vou deixar os valores que encontrei depois com mais calma e se eu conseguir coloco a resolução.
resolvendo encontrei w= $\sqrt[]{2}$ , usando g(0) achei A= 0 e B=1.Com isso encontro g(t)=1.
Depois usando a equação g`(t)= -f(t)-h(t) e usando g'(t)=Asen(wt)w-Bcos(wt)w que é a derivada da equação que você disse, acho
g'(t)=0.
com isso substituindo na equação g'(t)= -f(t)-h(t)
f(t)=1 e assim encontro que h(t) = 1 portanto f(t)²+g(t)²+h(t)²= 1²+1²+1²= 3.

meus calculos estão certos?

por **young_jedi** » Dom Abr 14, 2013 11:23

realmente $w=\sqrt2$ estea certo

mais substitutindo na equação g(0)=1 voce tem

$g(0)=A.sen(\sqrt2.0)+Bcos(\sqrt2.0)$

B=1

sendo assim voce consguiu determinar somente o B e não o A

agora utilizando a relação f'(t)=g(t) temos

$f'(t)=A.sen(\sqrt2.t)+cos(\sqrt2.t)$

$f(t)=-A\frac{cos(\sqrt2t)}{\sqrt2}+\frac{sen(\sqrt2t)}{\sqrt2}+C$

e como h'(t)=g(t)

$h(t)=-A\frac{cos(\sqrt2t)}{\sqrt2}+\frac{sen(\sqrt2t)}{\sqrt2}+k$

como f(0)=h(0)=1 temos

$f(0)=-A\frac{cos(\sqrt2.0)}{\sqrt2}+\frac{sen(\sqrt2.0)}{\sqrt2}+C$

$1=-A\frac{1}{\sqrt2}+C$

$h(0)=-A\frac{cos(\sqrt2.0)}{\sqrt2}+\frac{sen(\sqrt2.0)}{\sqrt2}+k$

$1=-A\frac{1}{\sqrt2}+k$

como g'(t)=-h(t)-f(t)

então

$A\sqrt2cos(\sqrt2.t)-\sqrt2sen(\sqrt2.t)=A\frac{cos(\sqrt2t)}{\sqrt2}-\frac{sen(\sqrt2t)}{\sqrt2}-k+A\frac{cos(\sqrt2t)}{\sqrt2}-\frac{sen(\sqrt2t)}{\sqrt2}-C$

$A\sqrt2cos(\sqrt2.t)-\sqrt2sen(\sqrt2.t)=A\sqrt2{cos(\sqrt2t)-\sqrt2sen(\sqrt2t)-k-C$

então temos que k+C=0

mais das relações anteriores tinhamos que

$1=-A\frac{1}{\sqrt2}+C$

$1+\frac{A}{\sqrt2}=C$
e

$1=-A\frac{1}{\sqrt2}+k$

$1+\frac{A}{\sqrt2}=k$

$1+\frac{A}{\sqrt2}+1+\frac{A}{\sqrt2}=0$

$A=-\sqrt2$

e dai tirmaos que C=K=0

portanto as tres equações serão

$g(t)=-\sqrt2.sen(\sqrt2.t)+cos(\sqrt2.t)$

$h(t)=cos(\sqrt2t)+\frac{sen(\sqrt2t)}{\sqrt2}$

$f(t)=cos(\sqrt2t)+\frac{sen(\sqrt2t)}{\sqrt2}$

elevando cada uma destas funções ao quadrado e somando o resultado sera 3

por **matmatco** » Dom Abr 14, 2013 13:19

entendi, mas não sabia que ia ter que integrar o f ' (t) para achar o valor de A e sobre as constantes eu já não poderia elimina-las sem ter que encontrar seus valores?

por **young_jedi** » Dom Abr 14, 2013 15:24

voce não pode eliminar as constantes direto, neste caso elas eram iguais a zero, mais em outros casos pode ser que não
então voce tem que encontra-las, e a constante A é a mesma coisa voce tem que integrar f'(t) e h'(t) e utilizar a relação
g(0)=g(0)=h(0)=1 para determina-la.