Cilindro circular reto inscrito num cone reto

por **netochaves** » Qui Abr 04, 2013 18:04

Uma caixa d’agua no formato de um cilindro circular reto de raio r e altura h será construída em cima de um prédio onde o teto tem formato de um cone de revolução com raio R e altura H, conforme a figura abaixo.

A figura é um cilindro circular reto inscrito num cone reto. Onde o r e o h são o raio e a altura do cilindro e o R e H o raio e altura do cone.
Colocando valores como exemplo para a formula : R vale 5 m, e H vale 12 m.

encontrar as dimensões de r (em função de R e H) que maximiza a área total da superfície da caixa d’ água (inclusive a base inferior).

Questões:
Tem como solucionar a situação sem a aplicação das derivadas?

Qual as dimensões de r (em função de R e H) que maximiza a área total da superfície da caixa d’ água (inclusive a base inferior)?

Qual a solução gráfica para a questao?

por **young_jedi** » Qui Abr 04, 2013 20:02

utilizando semelhanças de triangulos temos que

$\frac{12}{5}=\frac{12-h}{r}$

$h=12-\frac{12r}{5}$

então agora vamos calcular a area superficial do cilindro

a area lateral sera

$A_l=2.\pi.r.h$

$A_l=2.\pi.r.\left(12-\frac{12r}{5}\right)$

$A_l=24.\pi.r-\frac{24r^2}{5}\right)$

a area da base superior e inferior sera

$A_b=A_B=\pi.r^2$

sendo assim a area total sera

$A=2\pi.r^2+24.\pi.r-\frac{24r^2}{5}$

$A=-\frac{14r^2}{5}+24\pi.r$

esta é a função de uma parabola com a concavidade voltada para baixo portanto seu valor maximo esta no vertice da parabola, tente proseguir apartir daqui

por **Russman** » Qui Abr 04, 2013 20:53

Amigo young_jedi, acredito que você tenha se confundido na obtenção da área lateral como função de

. Você esqueceu de levar o /pi

com a fração.

por **young_jedi** » Qui Abr 04, 2013 21:10

é verdade, foi erro de digitação tem um \pi multiplicadno

$A_l=24\pi.r-\frac{24\pi.r^2}{5}$

portanto a area total é

$A=-\frac{14\pi.r^2}{5}+24\pi.r$

valeu ai Russman

por **netochaves** » Sex Abr 05, 2013 14:54

Mas gostaria de saber como ficaria a resolução sem adotar valores para R e H, como ficaria as equações ?

por **young_jedi** » Sex Abr 05, 2013 15:24

é so colocar as constante R e H no lugar dos numeros
utilizando semelhanças de triangulos temos que

$\frac{H}{R}=\frac{H-h}{r}$

$h=H-\frac{H.r}{R}$

então agora vamos calcular a area superficial do cilindro

a area lateral sera

$A_l=2.\pi.r.h$

$A_l=2.\pi.r.\left(H-\frac{H.r}{R}\right)$

$A_l=2.H.\pi.r-\frac{2.\pi.H.r^2}{R}\right)$

a area da base superior e inferior sera

$A_b=A_B=\pi.r^2$

sendo assim a area total sera

$A=2\pi.r^2+2.H.\pi.r-\frac{2.\pi.H.r^2}{R}$

$A=\left(1-\frac{H}{R}\right).2\pi.r^2+2.\pi.H.r$

esta é a função de uma parabola com a concavidade voltada para baixo portanto seu valor maximo esta no vertice da parabola, tente proseguir apartir daqui

por **netochaves** » Sex Abr 05, 2013 17:41

Muito obrigado, agora gostaria de saber como ficaria usando a derivada da função, e o gráfico ficará mesmo uma parábola voltada para baixo né?

por **young_jedi** » Sex Abr 05, 2013 18:10

utilizando a derivada
é so pegar essa expressão da area e derivar com relação a r e igular a 0

o grafico é sim uma parabola, mais o fato dela ser para cima ou para baixo, vai depender dos valores de R e H

por **netochaves** » Qua Mai 01, 2013 04:59

Mas a questao nao esta pedindo pra colocar r (em funcao de R e H) ?
ou seja essa equacao h= H-H.r/R nao teria que isolar o r, em vez de h?

por **young_jedi** » Qua Mai 01, 2013 11:24

o exercicio pede para encontrar o valor de que maximize o valor da area sendo este calculado em função de H e R

como voce tem a função da area A em função do raio r sendo esta uma parabola, voce tem que o valor maximo de area sera no vertice da parabola então temos que

$A=\left(1-\frac{H}{R}\right)2\pi.r^2+2\pi.H.r$

então o r no vertice da parabola sera

$r=-\frac{2\pi.H}{2.\left(1-\frac{H}{R}\right)2\pi}$

$r=\frac{H}{2\left(1-\frac{H}{R}\right)}$

$r=\frac{HR}{2\left(H-R\right)}$

por **netochaves** » Qua Mai 01, 2013 16:31

ah tah, é o X d vertice né? Xv= -b/2a

é essa mesma a resposta, agora gostaria de saber as situacoes quando :
se H<2R, se H=2R e H>2R , só falta isso para terminar