(Ajuda) Duvida no exercício de derivada.

por **Kamila conka** » Qui Fev 28, 2013 20:41

Não consigo desenrolar esse exercício, cheguei até uma parte. Gostaria de saber se estou no caminho certo.

Dada a equação, determinar $\frac{dy}{dx}$ , a derivada de y em relação a x:
$\frac{2x+3y}{{x}^{2}+{y}^{2}} = 9$

$\frac{2{x}^{2}+2{y}^{2}+3{x}^{2}.\frac{dy}{dx}+4{x}^{2}-4xy.\frac{dy}{dx}-6xy-6y.\frac{dy}{dx}}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}$

$\frac{6{x}^{2}+2{y}^{2}+3{x}^{2}.\frac{dy}{dx}-4xy.\frac{dy}{dx}-6xy-6{y}^{2}.\frac{dy}{dx}}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}$

por **e8group** » Qui Fev 28, 2013 21:09

Boa noite ,antes de derivar implicitamente,multiplique ambos membros da igualdade por x^2 + y^2

;assim, obtendo :

2x + 3y = 9(x^2 + y^2)

.

Daí ,resulta :

[2x + 3y]' = 9(x^2 + y^2)'

Consegue terminar ?

por **Russman** » Qui Fev 28, 2013 22:08

A forma que você começou não está errada. Porém, acredito que por derivação explicita seja mais fácil chegar no resultado esperado.

Passe o x^2 + y^2

multiplicando o

e derive em ambos os lados com relação a

.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x+3y) = 9\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2+y^2)$
$2+3\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 9(2x+2y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})$
$3\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} -18y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 18x-2$
$y'(3-18y) = 18x-2 \Rightarrow y' = \frac{18x-2}{3-18y}$

Voila!