Como encontrar a área limitada por duas funções?

por **VenomForm** » Qua Fev 27, 2013 15:09

Bom eu tenho as seguintes funções:
$f(x)=|{x}^{2}-4|$ e G(x)= 2

e preciso determinar a área da região limitada simultaneamente pelas curvas das duas funções
esbocei o gráfico http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D|x%C2%B2-4|%3B+y%3D2
a partir dai eu pesquisei um pouco pois não me lembrava como descobrir onde as retas se tocavam fazendo
f(x)=g(x)

deu
$x=\sqrt[]{3}$ e o segundo ponto
x =3

então pesquisei 1 pouco mais e vi que para descobrir a área das duas funções era só fazer
$A=\int_{\sqrt[]{3}}^{3}f(x) - \int_{\sqrt[]{3}}^{3}g(x)$
Calculos: f(x)

$\int_{\sqrt[]{3}}^{3}|{x}^{2}-4| dx =$
${x}^{3}/3 - 4x\int_{\sqrt[]{3}}^{3} =$
${3}^{3}/3 - 4*3-({\sqrt[]{3})^{3}/3 - 4*\sqrt[]{3}) =$
-3+5,19 = 2,19(f(x))

$\int_{\sqrt[]{3}}^{3}2 dx =$
$2x\int_{\sqrt[]{3}}^{3} =$
$2*3-2 \sqrt[]{3}=$
2,53 (g(x))

e cheguei no resultado
A=0,34

Alguem poderia me dizer se o que eu fiz esta certo, errado? obrg

por **young_jedi** » Qua Fev 27, 2013 18:54

o metodo esta certo so que os pontos que elas se encontram não

|x^2-4|=2

como elas se nos pontos onde x^2-4<0

entaõ

$x=\pm\sqrt{2}$

ou seja $-\sqrt2<x<\sqrt2$
corrija os limites e refaça as integrais, o resto ta certo

por **Russman** » Qua Fev 27, 2013 19:14

Você está no caminho certo, apenas vamos organizar as ideias.

As funções que você tem são $f(x) = \left | x^2 - 4 \right |$ e g(x) = 2

. A 2° função é a Função Constante que não há nenhum detalhe a se preocupar. Já a 1° função temos um módulo envolvido, de forma que teremos de definí-la por partes. Lembre-se que

$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &,x\geq 0 \\ -x &,x< 0 \end{matrix}\right.$

de modo que podemos estender esse conceito para um função qualquer f(x)

tomando

$\left | f(x) \right |=\left\{\begin{matrix} f(x) &,f(x) \geq 0 \\ -f(x) &, f(x) < 0 \end{matrix}\right.$

e resolvendo as equações $f(x) \geq 0$ e

.

No nosso caso temos

$\left | x^2-4 \right |=\left\{\begin{matrix} x^2-4 &,x^2 - 4 \geq 0 \\ -x^2 + 4 &, x^2 - 4 < 0 \end{matrix}\right.$

cuja solução é

$\left | x^2-4 \right |=\left\{\begin{matrix} x^2-4 &,-2 \geq x\geq 2 \\ -x^2 + 4 &, 2> x > -2 \end{matrix}\right. = \left\{\begin{matrix} x^2-4 &,(-\infty ,-2]\cup [2,\infty ) \\ -x^2 + 4 &, (-2,2) \end{matrix}\right.$

Assim, o gráfico das funções é

: Gráfico

onde as intersecções estão marcadas com as elipses azuis e a área compreendida entre as funções hachurada.

Temos de determinar os pontos de intersecção. Para isto basta fazer

$\left\{\begin{matrix} x^2-4 =2\\ -x^2+4 = 2 \end{matrix}\right \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=6\\ x^2=2 \end{matrix}\right \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\pm \sqrt{6}\\ x= \pm \sqrt{2} \end{matrix}\right$