[Limite]Limite de uma funçao de varias variaveis

por **TheKyabu** » Seg Fev 04, 2013 22:01

Bom,ja tentei fatorar,fazer substituiçao do tipo y=mx para cair na regra dos dois caminhos,

$\lim_{(x,y)\rightarrow(1,1)}\frac{x^2-2x+1}{x^2-y^2-2x+2y}$

$\lim_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}\frac{x^3+y+z^3}{x^4+y^2+z^3}$

Me ajudem, por favor
Agradeço desde de ja,abraços

por **young_jedi** » Ter Fev 05, 2013 18:51

vamos primeiro fazer o limite atraves da curva

y=1

portanto

$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-2x+1}{x^2-y^2-2x+2y}=\lim_{x\to1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-2x+1}=1$

e pelo caminho

(y-1)^2=x-1

$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-2x+1}{x^2-y^2-2x+2y}=\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-2x+1}{(x-1)^2-(y-1)^2}$

$\lim_{x\to1}\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2-(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{x-1}{(x-1)-1}=0$

portanto o limite não existe ja que para dois caminhos diferentes ele não resulta no mesmo valor

para o outro exemplo vamos tomar primeiro o caminho onde

x=0 e y=0

$\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{x^3+y+z^3}{x^4+y^2+z^3}=\lim_{z\to0}\frac{z^3}{z^3}=1$

e

y=0 e z=0

$\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{x^3+y+z^3}{x^4+y^2+z^3}=\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^4}=\infty$

por **TheKyabu** » Ter Fev 05, 2013 19:13

Estou com dificuldades em limites,como devo interpretar esses exercicios,vlw pela ajuda

por **young_jedi** » Ter Fev 05, 2013 19:47

nestes casos voce deve verificar se existem dois caminhos distintos que levam o limite para valores diferentes sendo assim o limite não existe,

para encontrar esses dois caminhos não existe uma regra geral, tem que usar um pouco a imaginação, o importante é treinar varios exercicios que ai voce pega o jeito.

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