Problema de EDO

por **thejotta** » Dom Jan 13, 2013 23:56

Determine uma função y=y(x) cujo gráfico passe pelo ponto (1,1) e tal que a reta tangente no ponto generico (x,y) tenha coeficiente angular (x^2 + 2y)/(y - 2x)

Alguém sabe como resolver essa questão não sei nem por onde começar.

por **Russman** » Seg Jan 14, 2013 03:14

Do enunciado partimos de

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{x^2+2y}{y-2x}$

de modo que, reorganizando os termos, temos a seguinte forma:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} y - x^2 = 2x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 2y$ .

Note que o lado direito é exatamente a derivada do produto 2xy

. Assim,

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} y - x^2 = \frac{\mathrm{d} (2xy)}{\mathrm{d} x} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} y =$

$=\frac{\mathrm{d} (2xy)}{\mathrm{d} x} + x^2 \Rightarrow ydy = d(2xy) + x^2 dx$

de forma que,

$\int ydy = \int d(2xy) + \int x^2 dx \Rightarrow \frac{1}{2}y^2 = 2xy + \frac{1}{3}x^3 + c$ .

Agora faça (x,y) = (1,1)