Integral por substituição

por **renan_a** » Sáb Jan 12, 2013 12:00

$\int_\frac{sin(2x)}{\sqrt[]{1+sin²(x)}} dx$

Pessoal, essa integral não está sendo fácil pra mim.

Tentei chamar u=sin^2(x) , que me dá um du= 2sin(x)cos(x)dx = sin(2x) dx

então $\int_ \frac{1}{\sqrt[]{1+u}} du$ , se v=1+ u , dv= du , logo , $\int_ \frac{1}{\sqrt[]{v}}$ , que resolvendo me resulta em 2 $\sqrt[]{1+u}$ = 2 $\sqrt[]{1+ sin^2(x)}$ + C

porém, o resultado está assim: 2 $\frac{\sqrt[]{(3-cos(2x)}^1/2}{2}$ (raiz elevada na um meio) .
Essa resposta está sem simplicação acredito eu, porém o que eu não entendo, é aquela substituição do ( 1+sin^2(x) ) que está dentro da raíz...

Já no Wolfram alpha, a resposta correta é: $\sqrt[]{(6-2cos(2x)}$ + C

Agradeço desde já!

por **renan_a** » Sáb Jan 12, 2013 14:58

consegui perceber de onde saiu parte do resultado, ele substituiu sin^2 (x) = 1- cos(2x)/2

me resultou 3/2 - cos(2x)/2 , que fazendo mmc, chego na resposta do wolframalpha , (6-2cos(2x)) , só que minha dúvida é a seguinte:

Eu posso fazer aquele mmc dentro da raiz??

Me desculpem se minha dúvida é tola.

por **e8group** » Sáb Jan 12, 2013 15:00

Boa tarde , recomendo que faça $\sqrt{sin^2(x) + 1} = \xi$ .Deste modo ,pela regra da cadeia .Vamos obter ,

$\frac{d}{dx}\sqrt{sin^2(x) + 1} = \frac{d}{dx} \xi = \frac{d}{d(sin^2(x)+1)}[{sin^2(x) + 1}]^{1/2}\cdot \frac{d}{dx}(sin^2(x)+1) = \frac{1}{2\sqrt{sin^2(x)+1}} \cdot \frac{d}{d(sin(x))}sin^2(x) \frac{d}{dx}sin(x) = \frac{sin(x)cos(x)}{\sqrt{sin^2(x)+1}}$

$\implies d\xi = \frac{sin(x)cos(x)}{\sqrt{sin^2(x)+1}} dx$ .

Agora observe que ,

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

.

Assim prossegue ,

$\int \frac{sin(2x)}{\sqrt{sin^2(x)+1}}dx = \frac{1}{2} \cdot \int d\xi = \frac{\xi}{2} +c$ .

Mas , como cos(2x) = cos(x +x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1-2 sin^2(x)

$\implies \frac{3-cos(2x)}{2} = sin^2(x)+1$ .

Ou seja :

$\frac{\xi}{2} +c = \frac{\sqrt{sin^2(x) +1} }{2} +c = \frac{\sqrt{\frac{3-cos(2x)}{2} }}{2} +c$ .

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