primitivar funçoes racionais

por **rodrigonapoleao** » Qui Dez 27, 2012 16:59

$f(x)=\frac{{x}^{2}-5x+1}{{x}^{2}-5x+8}$ dividindo os polinomios fico com $f(x)= 1 - \frac{7}{(x-{\frac{5}{2})}^{2}+\frac{7}{4}}$
como faço para primitivar a função?

por **e8group** » Qui Dez 27, 2012 18:53

Basta fazer $w= x- 5/2 \implies dw = dx$ .

Assim , $\int - \frac{7}{(x-5/2)^2 + 7/4} dx = - 7 \cdot \int \frac{dw}{w^2+7/4}= -4 \int \frac{dw}{\frac{4w^2}{7}+1} = -4 \int\frac{dw}{\left( \frac{2w}{\sqrt{7}}\right )^2+1}$ .

Agora deixando $\frac{2w}{\sqrt{7}}$ por

,vamos ter $dk = \frac{2}{\sqrt{7}} dw$ .

Prossegue-se que , $-4 \int\frac{dw}{\left( \frac{2w}{\sqrt{7}}\right )^2+1} = - 7 \cdot \int \frac{dw}{w^2+7/4}= -4 \int \frac{dw}{\frac{4w^2}{7}+1} = -4 \int\frac{dw}{\left( \frac{2w}{\sqrt{7}}\right )^2+1} \\ \\ -4 \int\frac{dw}{\left( \frac{2w}{\sqrt{7}}\right )^2+1} = -4 \int\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{k^2+1}dk = -2\sqrt{7}\int \frac{dk}{k^2+1} = -2\sqrt{7} arctan(k) + c = -2\sqrt{7} arctan\left(\frac{2w}{\sqrt{7}} \right )+c = -2\sqrt{7} arctan\left(\frac{2\left[\frac{2x-5}{2} \right ]}{\sqrt{7}} \right )+c = - 2\sqrt{7} arctan\left(\frac{2x-5}{\sqrt{7}} \right )+c$

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