Limite

por **matmatco** » Dom Dez 16, 2012 09:15

não estou conseguindo sair dessa raiz ja substitui x= u³ mas minha resposta não bate com a do livro, qual é o meu erro?
$\lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}$

por **fraol** » Dom Dez 16, 2012 10:06

Bom dia,

Você já tentou multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por $(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x})$ , então desenvolver o numerador, o que encontra?

.

por **MarceloFantini** » Dom Dez 16, 2012 10:58

Fraol, sua sugestão não resolve. Multiplique e divida por $x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{2}{3}}$ . Então $(x^{\frac{1}{3}} - 3^{\frac{1}{3}}) \cdot (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{2}{3}}) = x -3$ , que poderá ser simplificado com o denominador.

por **fraol** » Dom Dez 16, 2012 12:35

Olá MarceloFantini

fraol escreveu:Bom dia,

Você já tentou multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por $(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x})$ , então desenvolver o numerador, o que encontra?

.

Quando escrevi isso tentava mostrar que o numerador é zero, para qualquer x, o que é obvio e nem precisava desse algebrismo pois $(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}) = 0$ sempre, certo?
Se assim o for, esse limite é 0, concorda?

Por outro lado, a manipulação algébrica que você propôs é válida, e nesse caso o limite não é zero, se não errei as contas.

Qual é a sua conjectura a respeito?

.

por **MarceloFantini** » Dom Dez 16, 2012 16:03

Começa que você não pode fazer isso pois você estaria dividindo por zero, então sua sugestão deixa de ser válida a partir disso. Sim, o limite é diferente de zero.

por **fraol** » Dom Dez 16, 2012 16:14

Sim, não podemos dividir por zero. Mas eu ainda não substitui o x por 3. Apenas estou simplificando o numerador para depois partir para o cálculo do limite.

Note que na função original o domínio é R\{3}. Então existe f(1), f(2), f(4) e infinitos outros e todos eles são iguais a zero. Então afirmo que o limite é 0.

Por exemplo, qual é o valor de f(1) nessa fatoração/simplificação que você sugere?

.

por **MarceloFantini** » Dom Dez 16, 2012 17:32

A função que propos, $\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x}$ é a função identicamente nula, pois ela é zero em todos os pontos. Novamente, você está essencialmente multiplicando tudo por zero e dizendo que o resultado é zero. Ora, por esse raciocínio então o limite $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$ é zero, pois multiplicando e dividindo $\sqrt{x}-\sqrt{x}$ teremos que o limite é zero.

Vou tornar a pergunta para você: por que multiplicar por isto? Qual é o seu argumento para multiplicar tudo por zero, alterar completamente o limite e portanto afirmar que é zero?

por **fraol** » Dom Dez 16, 2012 17:46

Eu não multipliquei por 0, nem propus uma nova função. Eu, apenas, estou sugerindo que simplifiquemos o numerador e depois vamos ao cálculo do limite, como normalmente fazemos. Você chegou a verificar os valores de f(x) para x diferente de 3 na função original proposta pelo nosso colega?

por **fraol** » Dom Dez 16, 2012 17:52

Opa, desculpe, reli agora o enunciado e vi que trata-se de $\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}$ no numerador.
Logo ignorem minhas considerações anteriores. Vou ao oculista o mais breve possível ...

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