(integral) função exponencial

por **manuel_pato1** » Sex Dez 07, 2012 20:08

I = $\int_{} \frac{e^{tg(x)}}{(1+x^2)} dx$

Chamei de u = sin(x)/ cos(x) , logo, du/dx = 1/ cos²(x)

Daí eu meio que empaquei, pois não consigo fazer alguma relação trigonométrica com o '' 1 + x²'' do denominador

Alguém pode me ajudar? Abração

por **young_jedi** » Sáb Dez 08, 2012 12:16

só uma duvida a exponecial é realmente de tangente ou de $tg^{-1}x$

por **Russman** » Sáb Dez 08, 2012 13:36

Se fosse $e^{tg^{-1}x}$ sairia muito mais fácil essa integral!

por **manuel_pato1** » Sáb Dez 08, 2012 13:56

Desculpem, o correto é: $e^{atg(x)}$

também achei estranho, essa integral faz parte de uma lista que meu professor passou, mas acho que está errada.

Pois é, se fosse elevado na -1, daria pra fazer mais tranquilamente.

a respota é: $e^{arctan(x)}+ C$

por **manuel_pato1** » Sáb Dez 08, 2012 13:58

acho que esse atg(x) ele quis dizer arctg(x)

por **Russman** » Sáb Dez 08, 2012 14:04

Então, perfeito. Só pra esclarecer $tg^{-1}(x) \equiv arctg(x)$ , ok?.

Agora, faça u = arctg(x)

. Assim, $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}arctg(x) = \frac{1}{1+x^2} \Rightarrow dx = (1+x^2)du$ . Portanto

$\frac{e^{arctg(x)}}{(1+x^2)}dx = \frac{e^{u}}{1+x^2}.(1+x^2)du = e^u du$

Agora integre trivialmente em

e faça a substituição contrária para expressar o resultado em termos de

.

por **manuel_pato1** » Sáb Dez 08, 2012 15:02

Muito obrigado, Russman.
Consegui resolver, e bateu com o resultado.
Tô começando a matéria agora, então estou com umas dúvidas nessas integrais um pouco mais complicadinhas.
Abraço.