[integral] dúvida sobre ENC 2003

por **Jessica Seno** » Seg Nov 12, 2012 09:31

Bom dia pessoal,

Estou com uma dúvida quanto a uma questão do exame nacional de cursos(ENC) de 2003. A questão diz assim:

A integral imprópria $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{{x}^{p}}$ é convergente se, e somente se :
(A) p > 1
(B) p = 1
(C) p ? 1
(D) p < 1
(E) p > 0

Pelo que eu fui informada, uma integral imprópria é convergente se o limite existe e é um número real. Caso contrário, ela diverge. Mas como saberei quais das alternativas dada acima é a correta? Não entendi como eu processo para chegar em tal resultado...

Desde já agradeço pela atenção.

por **young_jedi** » Seg Nov 12, 2012 09:49

pirmeiro voce faz a integração

$\int_{1}^{\infty}x^{-p}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx$

$\int_{1}^{\infty}x^{-p}dx=\frac{1}{-p+1}.x^{-p+1}\Big|_{1}^{\infty}$

$\frac{1}{1-p}.\frac{1}{x^{p-1}}\Big|_{1}^{\infty}$

temos que se p>1 então quando x tende para o infinito a expressão tende a zero, no entanto se p for menor que 1 então a expressão sera

$\frac{1}{1-p}.x^{1-p}$

esta expressão vai tender ao infinito quando x tende ao infinito