[Limites] Equação de limite de duas variáveis reais

por **Bianca_R** » Dom Nov 04, 2012 21:45

Olá de novo,
Não consigo chegar na resposta que essa questão dá como certa.
A equação é:

$\lim_{(x,y)\rightarrow({0}^{+}, {1}^{-})}\frac{x + y - 1}{\sqrt{x} - \sqrt{1 + y} }$

E a resposta é 0 (zero)
Estava tentando seguir o raciocínio de fazer

$\lim_{(x,y)\rightarrow({0}^{+}, {1}^{-})}\frac{x + y - 1}{\sqrt{x} - \sqrt{1 + y} } \Rightarrow \lim_{(x,y)\rightarrow({0}^{+}, {1}^{-})}\frac{(x + y - 1)(\sqrt{x} + \sqrt{1 + y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{1 + y}) (\sqrt{x} + \sqrt{1 + y}) } \Rightarrow \lim_{(x,y)\rightarrow({0}^{+}, {1}^{-})}\frac{(x + y - 1)(\sqrt{x} + \sqrt{1 + y})}{x + y + 1} \Rightarrow \lim_{(x,y)\rightarrow({0}^{+}, {1}^{-})}\sqrt{x} + \sqrt{1 + y}$
mas isso não dá zero no final. Dá algo perto de 1 não?
No que eu estou errando?

por **e8group** » Seg Nov 05, 2012 11:19

Sim , a resposta é zero . Perceba que o denominador fica diferente que zero , quando $x \to 0^+$ e $y \to 1^-$ e também que , $\sqrt{0^+}$ estar bem próximo do zero a direita e $\sqrt{1 + 1^-}$ à esquerda de $\sqrt{2}$ . Já no numerador isto não acontece . Em notação em termos de limites , tendo $y \to 1^-$ .Ficamos com ,

$\lim_{x\to0^+} \frac{x}{\sqrt{x} -\sqrt{2}} = \frac{0^+}{-\sqrt{2}} = 0^-$

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