[Integral] Duvida, pois a resposta não coincide.

por **fabriel** » Seg Out 29, 2012 15:26

E ai Pessoal então:
é dado essa integral:
$\int_{}^{}\frac{4x+1}{{x}^{2}+6x+12}dx$
Ai como:
${x}^{2}+6x+12 = {\left(x+3 \right)}^{2}+3$
Então:
$\int_{}^{}\frac{4x+1}{{x}^{2}+6x+12}dx$ = $\int_{}^{}\frac{4x+1}{{\left(x+3 \right)}^{2}+3}dx$
Ai calculando:
u=x+3

e

Então:
$\int_{}^{}\frac{4x+1}{{\left(x+3 \right)}^{2}+3}dx$ =

$\int_{}^{}\frac{4\left(u-3 \right)+1}{3+{u}^{2}}du=\int_{}^{}\frac{4u}{3+{u}^{2}}du+\int_{}^{}\frac{-11}{3+{u}^{2}}du$

Mas agora estou em duvida pois integrando da um pouco diferente da resposta:
A resposta é:
$2 ln \left({x}^{2}+6x+12 \right)-\frac{11}{\sqrt[]{3}}arc tg\frac{x+3}{\sqrt[]{3}}+c$
Me ajudem nessa questão por favor..Obrigado!

por **young_jedi** » Seg Out 29, 2012 17:05

Então fabriel

partindo da onde voce chegou

$\int\frac{4u}{3+u^2}du-\int\frac{11}{3+u^2}du$

a primeira integral da pra fazer por substituinção

v=3+u^2

$\int\frac{2.dv}{v}=2.ln(v)$

substituindo a relação de v, u e x

2ln(v)=2.ln(3+(3+x)^2)

a segunda integral podemos escrever como

$\int\frac{11}{3+u^2}=11.\int\frac{1}{3}.\frac{1}{1+\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)^2}$

$\frac{11}{3}\int\frac{1}{1+\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)^2}$

fazendo a seguinte substituição

$v=\frac{u}{\sqrt{3}}$

$dv=\frac{du}{\sqrt{3}}$

$\frac{11}{3}\int\frac{\sqrt{3}}{1+v^2}.dv=\frac{11}{\sqrt{3}}\int\frac{1}{1+v^2}dv$

integrando

$\frac{11}{\sqrt{3}}\int\frac{1}{1+v^2}dv=\frac{11}{\sqrt{3}}.arctg(v)$

substituindo v pela sua relação com u e x

$\frac{11}{\sqrt{3}}.arctg(v)=\frac{11}{\sqrt3}arctg(\frac{x+3}{\sqrt3})$

sendo assim o resultado final da integral

$2.ln(x^2+6x+12)-\frac{11}{\sqrt3}arctg(\frac{x+3}{\sqrt3})$